II. — II

C étant une constante, et l'on en déduira

' ' ar"« dx

Or, en développant le second membre suivant les puissances ascendantes de la variable, le premier terme donnera la série infinie

Ouant au second terme , 1 ' il donnera é^lement

naissance à une série infinie, mais commençant évidemment par lu puissance j:'"+' . Comme P est un polynôme fini du degré m — i , il est clair qu'en posant m — 1 = 2/1, l'effet de ce second terme

G duil être de détruire tous ceux de la série ^ venant api*ès

1 .3.5. . .A /i — I «„ j» , .^ 1 • r-r x^", a ou cette conclusion :

Dons r équation (1), le polynôme P est, à un /acteur constant pn*s, [r ensemble des premiers termes du dé\eloppement de

^i--.r^) ^, jusqu'au terme en x^"^ suis^ant les puissances ascendantes de la variable.

Pour déterminer le facteur constant C, il suffira de profiter de la iTmarque faite tout à Flieure que a = ; on devra donc poser

il ou

m I •>..•)... ji /J — I

J\)lKSorvorai enfin que Téqualion (i) différentiée donne

X'" — -- (I — X-)— Vx, tix

\\\\i\ Voix lire aisément une équation linéaire du second ordre sans MM'ond membre, ear il suffit de ditVérenlier une seconde fois, puis s^oliniiner le terme indépendant de P et de sesdérixées. On trouve

SUR LINTEGRALE / , l» 5

/x"*^ dr

de la sorte

dx'^ (IX

Cette équation est vériKée en posant P=-p=; ainsi, en

partageant d'une manière quelconque le développement ordonné suivant les puissances croissantes de x de la série

(1 — x'^^ **, les deux parties satisfont à une même équation du

second ordre,

.r"» dx

/y>ni dT!

' ? et je pose yj\ — x^

)rs

/'*•'' .r'" dx ^ , /• ' dx

) / -7===P/r-J--he / *

£ désignant une constante et ^ un nouveau polynôme, commen-

il""* — ' çant comme tout à l'heure par le terme Je n'ajoute pas

de constante, le second membre devant être comme le premier une fonction impaire de la variable. La grande différence de nature analytique des relations (i) et (2) va se manifester à l'égard des polynômes P et y, car, en opérant absolument comme plus haut, on obtient cette conclusion :

Dans l'équation (2) le polynôme ^ est, à un facteur près, r ensemble des premiers termes du développement de la Jonclion transcendante ' jusqu'au terme en o:^""', suivant /i — x^

les puissances ascendantes de la variable.

Ce développement bien connu, et que donne immédiatement l'équation

dy , .

savoir

airsin.r 2 , 2.4 . •>. .4.6. . . » w — '. , .

conduit, en faisant m = 2/i, à l'expression suivante :

Et en même temps on arrive à la détermination de e en posant