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d'où
c'est-à-dire, précisément, le coefficient de j?^" dans le développement considéré plus haut (1 — x^) ^.
On tire aisément de ce dernier résultat la proposition suivante :
En désignant par F(x) un polynôme entier, Vintégrale —==== sera de La forme
dx
/dx
^{x) désignant aussi un polynôme entier, et le coefficient t de la partie transcendante s^ obtiendra en calculant le terme indépendant de X dans le développement de V expression
sui\fant les puissances décroissantes de la variable.
Mais on peut le démontrer immédiatement en remarquant
/*"*"* ¥(x) dr d'abord que l'on a évidemment / , =: tts, et ensuite que
l'intégrale définie 2 / ' peut s'obtenir en intégrant
-^-i==^, z décrivant un cercle de rayon infini, ayant son centre à
l'origine. Il faut, à cet effet, développer suivant les puissances décroissantes de z l'expression proposée
SUR l'intégrale / » 485
Or, F(z) étant un polynôme entier, la quantité F(5)( i j j
ne renferme qu'un nombre fini de puissances positives, et, en désignant par p le terme indépendant de la variable dans cette quantité, l'intégrale cherchée se réduira simplement à celle-ci,
0 r dz
de sorte que l'on a bien p = £.
On arriverait enfin au résultat, par une voie purement algébrique et très simple, en partant de l'égalité
r F(x)dx ^. . j r dx
J \/l — X* J y/l — iC«
Il suffit en effet de différentier, de développer ensuite les deux membres suivant les puissances décroissantes de la variable, et de
comparer les termes en — •
SUR
