EN FONCTION DU QUOTIENT DES DEUX PÉRIODES

Annali di Matematica, t. III (9/ série, 1869, p. 81).

On sait qu'en posant

'^ = -K-' on a pour le module k^ = /((ù) cette expression,

OÙ la variable <o entre sous forme transcendante, et j'ai observé ailleurs qu'en appliquant la formule de Maclaurin à la quantité /(i-l-ci)) pour obtenir un développement algébrique par rapport à Cl), les coeffîcients au lieu d'être rationnels, comme dans les diverses séries élémentaires sinto, cosco, log(i 4- w), contiendront la transcendante numérique

M'étant proposé de calculer les premiers termes, j'ai été conduit à un autre développement également algébrique, mais où les coefficients sont purement rationnels, comme on va voir.

mwrmms »b cBAtLSa HBtliitE.

Pkrtuil des Ibiinvles données par Jacobi dans les Fundamenia, §99, eloftroiilttt

rMa*f

swroir ;

\ S.4 s.4.6.8 a.4.6,8.io.i3 /

aJVa a.4.6 a.4.6.8.10 7'

aJ \* «.4.6 a.4.6.8. 10 ^' 7' j*en déduis

*^ %.i ^ a,4.«.« "*" 1.4.6.8.10. la "^ "

tl| le retour des suites donnant la valeur de q^ on trouvera cette expression où les coeflicients sont tous rationnels, savoir :

•i \ Tt «U -h «/ \ 1t U> -+- t /

1 5 \ t: ti> -h t/ 5 \ ir w -4- 1 /

KMiïiuut pour un instant

aJ* w — i ^

MU MU l'a donc

l)| lu lédrit^ en ÎJ du second membre aura cette propriété, qu'en j

i^luMl^t^HHt \ en • t-Sj où a et 6 sont entiers, la nouvelle série

uImmI (ihleiuio Hem liée à la première par une équation algébrique, \\^\\{\ riilaiitui entre les deux séries étant l'équation modulaire pour la MH*M*l<»i'n»wti<»u dont Tordre esta*-' +6^. Cette remarque, appliquée