l — I TT J

l'intégrale définie qui figure dans celte expression étant la transcendante de Bessel, on trouve, lorsque n est un grand nombre, la valeur limite que voici. Posons

E = it sincp, on aura

v/2/nc cosïp

SUR L'INTEGRALE /;-

Bulletin des Sciences mathématiques, t. I (1870, p. 32o).

Soit

zxcosa -h x^' il est d'abord aisé de voir que Ton a

car, en faisant, dans l'expression

siïïidx

-h aj: cosa-+- :r»

la substitution jt — - — /, nous obtiendrons sur-le-champ

La foncliony(a) est donc périodique, et il suffit, pour en obtenir la valeur j;énérale, de la déterminer en supposant a compris eiilie zéro et 7:. Faisant à cet efFel

.r — 00^ a — u sina. ce qui donnera

<\\\i f/.r du

I — ji.r o«»>a -^ .r^ i -r- a* nous écrirons

I ro« a — I — roi* a

rfu r "" du

SUR L INTEGRALE / -• 49^

de sorte que, dans le second membre, les deux intégrales représentent les arcs les plus petits, renfermés entre •' et H — > ayant

respectivement pour tangentes les quantités

I — cosa a — I — cosa it -+- a = tang - et : = lang

sina '2

Or, a étant moindre que tz par hypothèse, la première intégrale

sera par conséquent -> mais la seconde aura pour valeur l'arc

diminué de ic, c'est-à-dire ; nous aurons donc

sin a dx tt

•2 X COS OL-h X* '}.

entre les limites indiquées pour la variable a. Maintenant la relation

donne cette conséquence que, entre les limites 7t et 2t:, /(a) a pour

valeur — -> de sorle que nous nous trouvons amené à l'expression

analytique, par une intégrale délinie, d'une fonction discontinue

égale à -I — ou > selon que la variable est renfermée entre inv,

et ( 2/1 H- i)îc, ou entre les limites (2/1 — 1)71 et 2/111, n étant un nombre quelconque.

On voit donc comment on peut être amené, par les considérations les plus élémentaires du calcul inti'gral, à la considération si importante en Analyse des fonctions discontinues, et j'ajoute que l'expression en série trigonouiétrique de cette fonction particulière qui s'est ainsi oflTerte se tire facilement de l'intégrale définie.

11 suffit, en effet, d'employer ce développement connu, savoir :

I — '2:r cosa -h ar*

et d'observer qu'on a

= sina -H a: sinaa -h ar* sin3a -I-. . .4- x'*-* sin/ia -f-. . .,

a:'»-* dx = o ou = - ,

49^ QBVVIBS DB GHÀ1LB8 HBIMITB.

suivant que n est pair ou impair^ pour parvenir au résultat que donnerait la formule de Fourier, savoir :

- , /•■*■* 8inad!r / . sinSot sinSa \

"'^ ' J^ i — 2a?co8«-ha?* \ 3 5/

Il serait même possible d'établir la convergence de la série, en

limitant le développement de la fonction ' à ses n

premiers termes, et considérant le reste qu'on trouvera sous cette forme, savoir :

Rass sin(n + i)flc / ' , — smng I ^;

J__j 1 — 2a?co8a-+-a?« J^ i — aa?cosa-Hjr*

maïs je ne m'y arrêterai point.

Une autre intégrale définie élémentaire conduit encore à la même fonction discontinue, c'est celle-ci :

ffx

dont la valeur est -== ou ==» suivant que la constante a,

qui, en valeur absolue, doit être supposée supérieure à l'unité, est

positive ou négative. Il en résulte, si l'on fait a = » qu'on a

cosa

' s'inoidx _____ = f- 7c ou

(i — arcosa)/i — X*

suivant que sina est positif ou négatif; mais celle expression ne diffère pas au fond de celle dont nous venons de nous occuper, elle

s'y ramène en effet par la substitution x = ^> qui sert en général

à l'intégration des radicaux de la forme ^i — x'^. Sous une forme ou sous l'autre, le passage brusque de /(a) d'une valeur nulle

à H — > ou — -> semble moins caché dans l'intégrale que dans la

série trigonométrique ; car, en supposant a infiniment petit, elles oflrent, sous le signe d'intégration, aux infiniment petits près du

second ordre, l'une le facteur ; -, l'autre le facteur 7,

SUR l'intkgralk / -• 407

,/i I — 2J^ cosa H- X* ^'

qui, à la limite supérieure x = i, rendenl les intégrales infinies; c'est du moins par l'intermédiaire de cette forme, du produit d'une quantité infiniment petite par une quantité infiniment grande, que se trouve réalisé le passage brusque d'une \aleur nulle à une valeur finie.

Je remarque enfin qu'on a

et l'intéerrale est nulle, en cénéral, puisque la fonction '^— :

prend la même valeur aux deux limites ; toutefois, pour cosa = ±: 1 , elle est infinie, l'expression à intégrer entre les limites + i et — 1

étant — T