RELATIVE A L'ADDITION DES INTÉGRALES ELLIPTIQUES DE PREMIÈRE ESPÈCE

Bulletin des Sciences mathématiques, t. II (1871, p. 'f.i).

La première construction connue de celte équation et qui a été donnée par Lagrange résulte du rapprochement de la relation

cosaina = co5ani(:r -+- a) cosama: -1- sinam(x -f- ûr)sinaina" A a m a

avec la formule fondamentale de la trigonométrie spliérique. On en déduit aussi une construction plane en posant

\ = cosani(:r -+- a ), Y = siiiam (a" -h </ ),

et déterminant les points de rencontre de la droite

cosaina = \ eus a m j- -h Y siiiam:t-A ani a

avec le cercle

Cette droite est une tangente à l'ellipse

/ X y /YAamay \C0îjama/ "^ \voshiu(i /

CONSTRUCTION U E03J ETR 1 Q U E. 499

dont les axes ont pour valeurs

A = cosama.

cosanm .

B = = sin arn ( K — a ).

A ama

Ayant donc construit cette ellipse ainsi que le cercle, l'un des points d'intersection aura pour coordonnées

X = cosam(j7 -ha),

Y = sinam (x -h a)

et l'autre, en remarquant que l'équation de la droite ne change point si l'on change a en — rt, les quantités

Xo = cosain(jr — a), Yo= sinam {x — a).

On voit donc qu'en menant l'une des deux tangentes à l'ellipse

par le point

Xo= cosam(a: — a),

Yo= sinam {x — a),

cette construction donnera d'abord celui-ci

X = cosam(a; -ha),

Y = sinam (3: -h a),

puis, en continuant dans le même sens,

X| = cosam(j^ -h 3 a), Yi= sinam (a?-t- 3a);

et, en général, le /i'*"**^ côté du polygone inscrit au cercle et circonscrit à l'ellipse conduira à la construction des quantités

C()sam[;r -^ {xn -h i)a], sinam[x -h (2/1 -h i)a].

En opérant en sens inverse, on trouverait, pour les coordonnées des sommets, les expressions

cosam[^' — i'xn -h i)a], sinam[x — (2/1 -h i;aj.

Ces résultats pourraient, sans doute, se démontrer directement, en déterminant, sur la figure, le rapport des variations des coordonnées des points de rencontre, avec le cercle, de deux tangentes infiniment voisines, mais je ne m'y arrêterai point, m'étant seulement proposé de rapprocher Tune de Fautre deux constructions géométriques de natures bien différentes.

SUK