L'ÉUMINATION DES FONCTIONS ARBITRAIRES
Cours d* Analyse de l'École Polytechnique, 1878, p. 215-229. Paris, Gaulhier-Villars.
I. C'est à l'égard des fonctions de plusieurs variables que se présente la question de la formation des équations aux différences partielles, c'est-à-dire des relations entre une fonction ^, les variables X, j^, ..., et les dérivées partielles des divers ordres
-T-> -r> -j-z» -j — T-> • • •• Considérant d'abord deux variables seuledx dy dx^ ax dy
ment, le premier point de vue sous lequel nous l'envisageons est
celui qui s'offre dans l'étude des cônes, des cylindres, des surfaces
de révolution, etc. C'est en eflet la définition géométrique d'une
famille de surfaces par un certain mode de génération qui conduit
à définir analytiquement une fonction 5 de x et y par le système
de deux équations
où entrent un paramètre variable a et un nombre quelconque n de fonctions arbitraires de a, représentées par A, B, ..., L. Obtenir une équation aux différences partielles, à laquelle satisfasse la
(*) Hermite a consacré en 1873 deux articles à ceUe question, que Ton trouvera dans le Report of the British Association, t. XLÏI, p. 233, et dans le Messenger of Maihematics, t. II, p. 69. Nous croyons inutile de les reproduire, Hermite ayant développé ces deux Notes dans son Cours d'Analyse de V École Polytechnique. C'est le Chapitre de ce Livre se rapportant à ce sujet que nous réimprimons ici. Ë. P.
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fonction 5, quels que soient a el ces n fonctions, sera donc la question analogue à celle qui nous a prëcédemment conduit à la formation d'une équation différentielle ordinaire d'ordre n.
A cet effet, j'observe en premier lieu que les relations données permettent de considérera: el y comme des fonctions de z dont les dérivées successives
, cfx „ d*x
s'obtiendront, soit directement si l'on peut avoir x ely explicitement exprimés en 5, soit par les règles relatives aux fonctions implicites.
Dans ce dernier cas, nous aurons d'abord
(2) puis
/ do , d9 , do
1 d.v dy-^ dz '
i di, , d'I , d^
/ d^ p dro , d*o d-o , ,
[ dx dy-^ ^ dx"^ dx dy '^
\ rf*5> ,. Û?*C5 , d^-r:. , d^9
I dy- ^ dx dz dy dz "^ dz^ '
dnr riv ^ fJnrt
dx dy -^ dx* dx dy ' "^
dy* -^ dx dz dy dz ' dz*
-et ainsi de suite.
En second Heu, je remarque que
V'tanl la fonction qui résulte de Télimination du paramètre a, on reproduira identiquement la quantité z si l'on y remplace j: et^ par les valeurs que Ton lire de la résolution des équations (1), car au I rement ce serait de deux relations conclure une troisième qui <^\\ serait distincte. D'après cela, et envisageant x tX. y comme
ELIMINATION DKS FONCTIONS ARBITRAIRES. 5o'j
fonctions de 5, la première dérivée de Tidentité obtenue donnera l'égalité suivante
(4) ^Ï^ + IÇ^-''-'^"'
la seconde et la troisième celles-ci :
,.^ dz , dz , d^z . d^z , . d^z „
dx dy^ dx^ dx dy *^ dy^"
l dz „ dz „ .^ Vd^z , , d^z . , , , ,^ d^z , A
Les quantités j:', j/', j:'", >', y, y doivent être remplacées par leurs valeurs en fonctions de z, ou éliminées au moyen des relations (2), (3), En continuant les mêmes calculs jusqu'à la
dérivée d'ordre n, on parviendra à un système de n équations où les dérivées partielles de l'ordre le plus élevé seront évidemment
dx^^ dx»-^ dy * * "' dy'^*
et, en y joignant les deux relations proposées, il sera possible d'effectuer l'élimination du paramètre a et des n fonctions arbitraires
c'est le résultat cherché, qui est ainsi une équation aux différences partielles d'ordre n. Dans le cas le plus simple de /i = i , lorsqu'il n'existe qu'une seule fonction arbitraire, cette équation aux différences partielles s'obtient immédiatement en résolvant par rapport à a et à Â les équations
Ayant en effet il ne restera plus trace du paramètre ni de la fonction arbitraire
a = 4>(ar,^, z).
5o4 OEUVRES DB CHARLES HERMITE.
dans les relations (2) qui deviennent
dx dy^ dz
dx dy ^ ^* '
dz
et le résultat de l'élimination de x' et j^ entre ces équations et l'équation (4) est immédiatement donné en égalant à zéro le déterminant
dz d^ dW
dx dx dx
dz d<P dW
dy ~dy 'dy
dz dz
