S = S'S', H. - II
la substitution (S) sera de même composée de deux autres, et, si l'on représente par (S') et (S") les substitutions déduites de S' et S", diaprés la même loi que (S) de S, on aura la relation
De là résulte que toute fonction des quanlités P,, P^, ..., P,,, indépendante de T, par exemple loutes les fonctions symétriques des différences des racines j^, seront, par rapport à Xq? T,,..., T„2,
des co variants de la fonction homogène J'"/!- ) • Telles seront en particulier les quantités
(/i — i)Pî— 2/il\, (/i — i)(/i — 2)PJ — 3/i(/i — 2)P,PjH-3/i*P3, etc.
qui jouent le principal rôle dans les recherches que j'espère pouvoir bientôt communiquer à TA^cadémie sur la réduction de l'équation du cinquième degré à la forme obtenue par M. Jerrard. Mais, en ce moment, c'est aux équations du quatrième degré que je vais appliquer ces considérations, afin de les réduire à la forme
(4) ar^ — CSxS — 8Tar — JS» = o,
et par là d'en conclure les expressions de leurs racines au mojen des fonctions elliptiques. Je me fonderai à cet effet sur cette remarque que, dans cette équation, comme celles de la théorie des fonctions elliptiques auxquelles elle a été comparée, savoir :
r ♦ -5- •:. M^ ç"^ — •>. Mi' — u'* = o et
l'invarianl quadratique est nul. Or toute équation du quatrième degré
A^^ -+- \ Bx^ -+- 6Cx» H- 4 Dx -f- E = o,
où l'on suppose cette quantité
1 = AE — 4BD-h3G« = o,
devient, en y remplaçant x par — ^ — ,
^v r,(Bî j-AC):F»-l-4(AîD — 3ABC-f-9.B^):r- 3(B« — AC)« =0;
THÉORÈMES d'algèbre ET ÉQUATION DU QUATUlÉMi: DEGRÉ. HJ
ce qui est bien la forme de réquation (4). Étant donc proposée l'ëquation générale
ax^ -+- 4 ^^' -^ 6cj'^ ~ i dx -\- e = o,
essayons de déterminer la substitution
= o(x) = uT -hax
To -i- ax'^
-f- ax^
■+• .\bx
'\-fybx'^
r-Gc
-\-QiCx
de manière que, dans la transformée que nous écrirons ainsi
y* -i- 4 1*1 v=» -f- r,p,72 -I- 4 Pj^ ^ p, = c>^
rinvariant quadratique soit égal à zéro. On devra poser
H*-4PiH3-f- JP| = o,
relation du quatrième degré par rapport à ïo, T|, T2 î mais, ce qui justifie précisément le mode de réduction que nous avons en vue, c'est qu'elle se décompose en deux facteurs, de sorte (|u'en posant
f = aTJ -^ 4cTî 4- eTî -h 4^n',Tj H- j^cToT, -^ 4^T„T,,
\ = ae — \bd-^ Jr*,
J = ace -+- 'ibcd — ttd^ — eb^ — c-',
on aura l'une ou l'autre de ces (Mpiiitions du second «lej^ré seulement
It
-i-j^GJ
v/P-'27JM(ToT,-Tî):
On pourra donc, et d'une infinité de manières, en s'adjoignant de simples racines carrées, déterminer une substitution qui ramène toute équation de quatrième degré à Féquation (^;, dont les racines ont été exprimées par les fonctions elliptiques. Kt l'on remarquera que f est bien un covariant de la forme
/ = ax» -H 4 bjc^y — Gcjr- r- — \ dxy^ -r- ey'%
car celte quantité peut s'obtenir en remplaçant, dans l'expression
^^> ^ï'» y^ d'une part, ç-, Çr,, r^ de faulre, respectivement par To, T|, Ta; d'ailleurs 1 et J sont les deux invariants et I' — 27J- le discriminant.
Mais il est une autre cqualion que présente la tliéorie de la transformation du troisirme ordre el à laquelle on pourrait, par
une substitution de la forme r= — — ^, ramener ésralement toute
équation du qualrième degré. Soit, en général, pour un ordre quelconque /j,
U = V^. V = t^ïV:
en partant des expressions données dans les Fundamenta pour À et }/, et d'où Ton tire
-. __ -, ^ siii roam^.to.sin coam 4co, ..., siiicoam(/i — i)to Aain .>.(u.Aaiii i (o, ..., Aiiiii(/t — 1)0)
le P. Joubert a fait la rouiarque imporlanle que les fonctions rationnelles symétriques des diverses \aleurs de Vqui correspondent à toutes les déterminations de to, ne dépendent que du produit du module par son com])lément, de sorle qu'il existe entre Vel U une équation de degré // -h 1 , analogue pour plusieurs propriétés essentielles (*) à l'équation modulaire entre r et u. Par exemple, pour n = 3, /i = 5, Il = 7, le calcul cU'edué par le P. Joubert donne les relations
V6— ,GU3V*--i5U*V*-hi3U*V»4-4UV-^U«i=o,
V8 64U7V--!-7./i8U«V6— 7.9GU5V5-+-7.94U*V* — 7.48U3V»-i-7.iAU*V* — 8UV-H U» = 0.
C'est la première qui pourrait servir à l'objet que nous indiquons; mais je me bornerai, en terminant cette Note, à montrer qu'elle donne un nouvel exemple de ce rapprochement que j'ai essayé de
(*) Ces propriétés seront l'oltjet d*un procliain article.
THÉORÈHES d'algèbre ET EQUATION DU QUATRIÈME DEGRÉ. 'Sy
faire ressortir, entre la théorie de la transformation pour le troisième ordre et celle des formes cubiques à trois indéterminées. Effectivement, le paramètre / qui figure dans la transformée canonique
dépend des invariants S et T, ou plutôt dé S ot S, par Téquation
Or il suffit, en introduisant une seule indéterminée, de poser / = p V pour la ramener à la relation entre V et U. De là résulte qu'en prenant pour module
•2 s/S' €l posant, pour abréger,
^ = i. ( /;i K -h m' iK' ), on a ces expressions des trois quantités 0, A et /, savoir :
sin*coamç ^ sin^am^ Si sincoamo
Dans ces formules m et m' peuvent être pris égaux à deux nombres entiers quelconques, pourvu qu'on ne les suppose pas en même temps nuls ou divisibles par 3.
SUR
C\ /?., i. XLVflI, i8j9 (I), p. 940-1079-1096: i. XLIX, 1859 ni), p. 16-110-141.
On coniiail loule l'imporlance dans la théorie des équations algébriques de eelle fonction des coefficients à laquelle a été donné le nom de discriminant, et qui représente le produit symétrique des carrés des différences des racines. Aussi les géomètres ont-ils recherché, surtout dans ces derniers temps, les méthodes les plus propres à en abréger le calcul. Mais, dans les applications à une équation donnée, ces méthodes générales sont le plus souvent im])raticables en raison des opérations laborieuses qu'elles exigent. C'est cette difficulté qui m'a longtemps arrêté pour former la réduite du onzième degré de Téq nation modulaire du douzième, la fonction des racines que j'ai employée pour efl'ectuer l'abaissenuMit conduisant dans les trois cas du sixième, du huilième et du «(onzième degré à calculer le discriminant de ces équations. J'ai donc essayé d'étudier en général le discriminant des «'•(piations modulaires, en jirenant pour point de départ les expressions des racines sous forme transcendante, dans Tespérance d'arriver à un calcul qui pût être eflectué au moins dans le cas (pie j'avais en vue. J'y suis effectivement parvenu, et j*ai vu en même t<mips cette recherche conduire, par une voie aussi simple <pie naturelle, à d'importantes notions arithmétiques et à des propositions (pi'iui ne trouvera pas, j'espère, sans intérêt, sur les sommes de nombres de classes de formes quadratiques, dont les déterminants suivent un<» certaine loi. M. Kronecker a déjà donné dans les Comptes lencius de i Académie de Berlin (sédmce du
ap octobre 1857) les énoncés de plusieurs beaux ihéorèmcs de cette nature; ceux que je vais établir dans cette Note et qui, si je ne me trompe, tiennent à d'autres principes, contribueront, je pense, avec les propositions dues à cet illustre géomètre, à jeter un nouveau jour sur une des plus importantes théories de l'Arithmétique, en la rattachant par de nouveaux liens à l'Algèbre et à l'Analyse transcendante.
Soit n un nombre premier et B(r, u)z=io l'équation modulaire de degré « -h i ; en faisant, pour abréger, £=(-)> on trouve 1res aisément que le produit des carrés des différences des racines v^ prises deux à deux, et que je désignerai par D, a la forme suivante :
D = M«-»-ï (I — M* )'*-»-e( «0 -^ « I ''* -h rtj w>« -h . . . -I- rtv w«^ ),
le polynôme rto4-«iW*-h ... étant réciproque, c'est-à-dire que «,= «v/, et ne contenant ni le facteur w, ni le facteur 1 — w* ; quant au nombre v, il a pour valeur
V = — in-^z).
Cela posé, je vais en premier lieu établir (pie D est un carré parfait. Je me fonderai pour cela sur la relation importante donnée par Jacobi, entre le multiplicateur M, le module proposé et !e module transformé, savoir :
En posant
n A'ii — k^)' dk'
de sorte qu'on ait, en vertu de l'équation modulaire.
{lu OCt», m) d^ ~^ '~ â^t», u)'
4o OEUVRES DK CHARLES IIBRHITE.
cette relation, si l'on introduit u et v au lieu de \/lx et ^X, deviendra
D'ailleurs, les valeurs correspondantes de v et de M sont, comme on sait,
V = M«[sin coamap sin coam ip . . . sin coani(/i — i)p J,
- . -7- ("sin coain^p sin coam 4 p ... sin coam(/i — 0^1*
~" I sin ani'ip sinam/|p . . . sin am( /i — i)^ J
de sorte qu'en faisant
K i¥J K-h«K' in-\)K-\-iK'
n II n n
on obtiendra simultanément les n -|- 1 valeurs de M et les n H- i racines i^o? ^15 •••? ^n de l'équation modulaire. Or les équations entre M et A* ont pour coefficients des fonctions entières de A*, celui de la plus haute puissance de M étant l'unité, et le dernier la con-
stante numérique > de manière que le multiplicateur ne
peut jamais devenir nul ou infini pour une valeur finie de k. Cette |)ropriélé importante, qui est due au P. Jouberl, montre que les valeurs de v et u, qui satisfont à l'équation modulaire et à sa dérivée 0(t>, m) = o, annulent nécessairement aussi le dénominateur de M et, par suile, 2>(i', u), si l'on exclut les cas limites, /i = o, f£*=i, auxquels correspondent, comme on sait, i^ = o, i^*=i. Cette restriction faite, on peut conclure que toutes les autres solutions simultanées des équations 0((', // ) = o, 6(V, m) = o sont doubles; elles annulent, en effet, la déterminante fonctionnelle
dv du du dv ~~ du dv
car, à cause de l'équation 8 = 0, celte déterminante contient le facteur &(i', u). C'est dire que tous les facteurs du discriminant, autres que ^/ et i — u^^ y entrent au carré, d'où résulte que le polynôme ao4-«i«*-|- ..., qui ne contient pas ces facteurs et, par suite, le discriminant lui-même, est un carré parfait. A la vérité pourrait-on demander en toute rigueur de démontrer qu'il
TllÉORIK DKS EQUATIONS MODULAIRES. {l
ne renferme pas de facteurs triples ou élevés à une puissance impaire. Mais ce point sera lui-même complètement établi plus tard, à Taide d'une remarque que je dois encore placer ici. Multiplions membre à membre les n 4- i équations qu'on déduit de la relation
en y remplaçant successivement v par toutes les racines de l'équation modulaire. Comme le produit des valeurs de M est ±-1 on trouvera, en employant, pour abréger, lo signe de multiplication II,
Mais on sait que on en conclut ( * ) que
et il vient par conséquent
Or, au signe près, nO(c', u) est le discriminant, et cette relation montre qu'on peut le considérer comme provenant de l'élimination de (^, entre les équations
la seconde étant la dérivée -7-» Cela posé, faisons le changement de V en w, et de « en sr; d'après une propriété fondamentale des équations modulaires, 0 ne changera pas, -5- = o deviendra par conséquent -j- = o, rt le discnmmant, lorsqu on y aura mis Si' au lieu de w, représentera le résultat de Télimination de u entre les
(') Il suffit pour cela de poser m = ^{{ù)^ puis de changer to en 1 et d'clc-
ver les deux membres à la puissance huitième, les racines v^^^ v^^ ... élanl ainsi devenues : y'i — vj, \^i— v?, elc.
if. (CL-VHES DK CIIARI.KS II ER H ITK .
équations
Mîiis, V) ncî ronleiianl que des puissances paires de //, ce cliangeniciil reviendra à écrire la lettre v au lieu de w, d'où celte consc- (|ueiice (jue Tensemble des valeurs égales des racines r©? ^'i^ •••? Vf,j lui didere pas de la série des valeurs de u qui font acquérir à Téqualion modulaire ces valeurs égales.
Après avoir étahll que le discriminant est un carré parfait, ce (pli permel d'écrire désormais
si l'on pos<»
Al* — I 71 -4- e
0 ( f/ ) rrr «o -f- AI, M* -h . . . -H Alv M*^, V =
nous introduirons la transcendante dont j'ai donné ailleurs (*) la définition <»t les propriétés fondamentales, en faisant
et c'esl ainsi (pie nous parviendrons à représenter explicitement toutes les racines du polynôme 0(//), en donnant pour chacune <relles la valeur de (o. Le caractère principal de ces valeurs consiste en c<» (piVlles seuil Tune des racines toujours imaginaires, celle on \v coefficient de i {^) est positif, d'équations du second d(»gré à coefficients entiers. <»l ipie nous désignerons de cette manière :
{a) Pto» H- Ji Q co -î- R = o.
Nous allons donner le moyen d'obtenir toutes ces équations en les
(') Comptes remius, iSr>S, j». 5u.
(<^ IVut éUT nV^I-il (>ii5 inutile, (H>ur éviter toute ambiguTté, de dire que la quanlitê i dont il est question est précisément relie qui figure dans Texpression unalvtique de «v^) ^^^ ^^^^ ^ ^'l*' introduite en posant g = e*^^.
déduisant de certaines classes de formes quadratiques de déterminant négatif, mais il est d'abord nécessaire, à l'égard de cette dépendance que nous établissons entre les équations et les classes, dMndiquer la proposition suivante :
\ toutes les classes qui ont même déterminant ou seulement à certains ordres correspondront toujours, sauf deux exceptions dont il sera question plus bas, soit deux groupes, soit six groupes de huit équations, telles, que dans un même groupe toutes les équations se déduisent de l'une d'elles, en y remplaçant eu par (i)-h2/«, le nombre m étant pris suivant le module 8. De sorte que, si l'on veut avoir seulement les valeurs distinctes de o*((ii), on ne conservera qu'une forme de chaque groupe, alors et sous cette condition correspondront à chaque classe deux ou six équations (a).
Désignons dans le premier cas par
P io2 -+- 7. Q to -4- R = o
l'une des équations, Taulre s'en déduira en y remplaçant o) par 9 et il en résultera deux valeurs ©( w) et —, — - qui seront deux
■ -»- eu • ^ ' ç(tu) ^
x*acines réciproques du polynôme 6(w).
Pour le second cas, on aura d'abord les deux équations dont nous venons de parler, et chacune d'elles en donnera en outre
<leux autres, en y remplaçant (o par et w — i . Autrement dit,
les six équations résulteront de l'une quelconque d'entre elles en jr faisant les substitutions
fO, » • , CO I, I •
