I -i- Uj tO I — OJ OJ

A ces six valeurs de to répondent six groupes de huit racines du polynôme 6(//), qu'on obtiendra par les relations

Quant aux cas d'exception à ces règles, ils concernent les classes dérivées de ces deux formes (i, o, i) et (2, i, 2). On rencontre les premières lorsque, le nombre premier n étant ^ 1 (mod 4)? on peut faire

i4 OEt'VBES DE CHARLES HEBMITE.

Selon qu'elles présentent les caractères propres aux formes qui fournissent deux ou six équations, on n'en doit prendre qu'une seule, savoir :

d'où

ciu = I 4- ï, o*(ci>) = — i:

ou bien les trois suivantes :

Coî — 2(1) -i 2 = o,

2 tu* -h -2 10 -*- I = O,

d'où

(I) = i, 9'(ti>) = -,

OJ = I -4- I , o« ( (I) ) = — I ,

Le premier cas a lieu lorsque h est impair ou impairement pair, et le second lorsque 6 est divisible par .\ dans l'équation

F^es classes dérivées de (2, 1, 2) s'offrent lorsque

et toujours a\ec les caractères propres aux formes qui fournissent six équations. Mais on en doit prendre seulement deux, qui sont

a)*-4-a)^-l = o, oj- — uj -h I = o,

et, (|uant aux valeurs de 'f (o)) qu'elles déterminent, elles dépendent de l'équation

Ainsi le facteur //'• — u^ -{- 1 se présentera dans le polynôme 6 (//) pour/i^-j, i3, 19,01c.

Ces préliminaires établis, nous arri\ons à la formation même des équations en co. A cet effet, nous considérerons deux séries de déterminants, les uns donnés par l'expression

les autres ])ar celle-ci :

TUÉOmE DES ÉQUATIONS MODULAIRES. 4^

en attribuant à o toutes les valeurs en nombre évidemment fini qui les rendent positives, et nous aurons les propositions sui-

>antes :

Première série : A = ( 88 — 3/i)(/i — 20).

Pour A^i(inod4), toutes les classes de déterminants — A peu\ent être représentées par des formes (P, Q, R), où Q est impair et R impairement pair. Ces formes fourniront deux équations, dont le type sera précisément

Pa>«-f- viQ»o-f- R = 0.

Pour A^ — I (mod4), les seules classes de l'ordre improprement primitif ou dérivées d'ordres improprement primitifs pourront être représentées de même ; les autres seront exclues, et cliacune des premières fournira deux ou six équations, suivant qu'on aura A =: — i ou 3(mod8).

Deuxième série : A'= 8o(/i — 80).

Pour 0 impair, on exclut les classes où les trois coefficients sont divisibles par 2 ; toutes les autres fournissent chacune deux équations.

Si 0 est pair, on prend sans exception toutes les classes de déterminants — A', et c'est alors seulement qu'on rencontre les groupes de classes auxquelles correspondent six équations. Le premier de ces groupes se présente lorsque 5 ^ — 2/i(mod8) ; il est composé de toutes les classes dont les coefficients sont divisibles par 4» et qui, ce facteur supprimé, constituent Tordre improprement primitif, ainsi que les dérivés d'ordres improprement primitifs ( ' ), de déterminant -• Le second est donné

par les valeurs de 0 qui sont multiples de 8, et il est couiposé de toutes les classes dont les coefficients sont divisibles par 8. L'une quelconque de ces classes, auxquelles correspondent six équations, étant désignée par (P, (^, R), conduit immédiatement à

(') Celte réunion d'ordres qui se présenlc dans les deux séries de déterminants pourrait être appelée simplement le groupe improprement primitif; ce serait ainsi Tensemble des classes (A, B, C), où B est impair, A et C pairs, ces trois nombres pouvant avoir d'ailleurs un diviseur impair quelconque.

46 (IKUVHKS DK CHARLES HERSIITK.

IVq nation type

l'w*-H2Qw-+- R=o;

mais pour les autres, auxquelles correspondent deux équations, et qu'on peut représenter ainsi :

p étant I, '2 ou 4, et A, B, C n'étanl plus à la fois divisibles par 2, il sera toujours possible de déduire de (A, B, C) une transformée (P, Q, R ) où P est impair, R pair, et l'équation en co sera

encore

I»a>«-i-'2Qw -f- R = o.

Une observation essentielle doit être enfin jointe aux propriétés précédentes : c'est que, dans la série des équations dont nous devons donner la formation, jamais on n'obtiendra deux fois la même, si Ton a égard à ce qui a été précédemment dit relativement aux classes dérivées des formes (i, o, i) et (2, 1,2). La considération des formes réduites permet de le démontrer très aisément, et il en résulte cette remarque qu'un nombre premier n'a qu'une seule représentation dans le groupe des formes de même déterminant où le coefficient moyen est nul.

Plusieurs des résultats précédemment établis s'étendent aux équations plus générales qui fournissent la relation entre les modules pour toutes les transformations des fonctions elliptiques. Ceux que je vais indiquer, en considérant pour l'ordre delà transformation un nombre n impair sans diviseur carré, montreront, je pense, l'intérêt qui m'a attaché à ces recherches, auxquelles j'espère donner par la suite de nouveaux développements. Dans ce cas, l'équation rationnelle entre c = y/X et u = \Jk est d'un degré égal à la somme des diviseurs de /i, et le premier point que j'ai dû établir consiste en ce que, si l'on pose // = o(to), les racines seront rej)résentées ainsi :

/2\ /oto-i-ir»m\

TIIKORIK DKS KQUATIONS MODULA IHKS. 4?

o et o, étant deux diviseurs de /?, de sorle que /? = o5|, m étanl

pris suivant le module o» et ( ^ j ayant la si^nificalion habituelle

relative aux nombres composés.

Considérant ensuite le produit des carrés des différences des racines, j'ai trouvé qu'en le désignant toujours par D, on avait

où N, N' et V sont des nombres entiers dont la détermination dépend des fonctions numériques suivantes, qui s'offrent pour la première fois en analyse.

Soient 8 et 8' deux diviseurs de /i, tels que Ton ait

la première de ces fonctions sera la somme de toutes les quantités 88', et je la désignerai ainsi :

Le seconde A), sera définie comme la précédente, mais en employant seulement pour 8 et 8' les diviseurs de n qui satisfont à la condition

Cela étant, si X et Ob'* représentent la somme et le nombre des diviseurs de /i, on aura

N = nDÎ.'— 5Î,H-'2A„,

Ces quantités auxquelles conduit immédiatement le discriminant de l'équation modulaire montrent donc le premier emploi des fonctions A„, A^, qui, si on les prend complètes, c'est-à-dire en introduisant dans les sommes tous les diviseurs de /?, seront de la nature des fonctions numériques qui ont été récemment l'objet de travaux importants de M. Liouville. Mais la limitation 88' «< n

(*) Cf 6' ne peuvent èrrc pris égaux entre eux et égaux à l'unité.

leur imprime un caractère spécial qui rappelle dans la théorie des nombres la notion analytique de parties de fonctions. Telle est encore cette expression de la somme des diviseurs de /i, moindres que v//i, dont M. Kronecker a montré le premier l'usage dans le^ beau travail que j'ai déjà cité. Et il semble jusqu'ici que ce soit dans l'évaluation des sommes de nombres de classes de formes quadratiques, dont les déterminants suivent certaines progressions du second ordre, que ces trois fonctions se trouvent appelées à jouer leur principal rôle; mais, à cet égard, j'aurai surtout pour but de faire ressortir, dans le cas où n est premier, la liaison qui existe entre le degré du discriminant et ces nombres de classes. Pour cela, il est nécessaire que je démontre, comme je l'ai déjà annoncé, que le discriminant ne contient pas de facteurs multiples autres que //et i — //**, dont le degré de multiplicité soit supérieur à deux.

Les valeurs de w par lesquelles les racines du discriminant, en exceptant // = 0, //*:= 1 , ont été exprimées sous la forme

Il =ç(w),

présentent ce caractère que deux quantités ©(w), » (a>') sont essentiellement diflérentes du moment que w et w' ne dépendent pas de la même équation; et il en résulte, en premier lieu, que les valeurs communes que prennent respectivement deux racines de féquatiou modulaire pour //=:o(co) et // = ©(w') ne pourront non plus jamais être égales. Ce point établi, j'observe ensuite que le déterminant Q^ — PR de l'équation

étant résidu quadratique de //, la congruence

I*x'-}- aQvT -i- Il ~ o (mo(l/o admet, si V n'est pas multiple du module, deux solutions réelles

qu'il sera toujours possible de représenter par des nombres multiples de i6 :

Cela étant, les deux racines de l'équation modulaire, qui deviennent égales lorsqu'on fait // = ©(w), seront

Et dans le cas où l'on suppose P^o (mod/i), la congrueace n'admettant plus qu'une solution j? ^ [jl, on aurait l'égalité

Mais on peut toujours faire en sorte d'exclure l'un des cas, de rester dans le premier, par exemple, en tirant l'équation en w d'une forme quadratique (P, Q, R) où P ne soit pas divisible par n. Cela posé, l'équation modulaire ne saurait présenter non plus,

quand on y fait m = o(cd), une troisième racine o (- — !--) égale

aux précédentes; car jjl" devrait nécessairement vérifier, ainsi que [X et [jl', la congruence Px'-4- 2 Qx + R ^ o (mod/?), ce qui est impossible lorsqu'on suppose le module un nombre premier. Or, ayant démontré que les racines du discriminant ne différaient pas de l'ensemble des valeurs égales des racines Vq, c^i, . . ., i^„, de l'équation modulaire, nous concluons qu'il n'existe pas de facteurs triples dans le discriminant, précisément de ce que trois des quantités Vof ^i? • ••? ^'// ne peuvent jamais coïncider pour aucune valeur finie de w. Ayant donc fait

nous pouvons regarder comme inégales toutes les racines de l'équation H(u) = o] et c'est la proposition que nous voulions établir afin d'arriver à celle-ci :

Pour tout nombre premier /i, la somme des nombres d'équations déduites des classes quadratiques de la première série de déterminants — A, et de la seconde série de déterminants — A', est égale au degré du polynôme ^(u).

GEIVRES DE CHARLES IIERMITE.

Mais en considérant, pour plus de simplicité, les seules équations qui fournissent des valeurs distinctes de cp'(a)), nous pouvons remplacer cet énoncé par le suivant :

Soient o-i et o-j les nombres de classes de la premiè/'C série auxquelles correspondent deux ou six équations. ar\ et o*!, b's quantités analogues dans la seconde série, on aura en tenant compte des classes dériK-ées de {\^ o, i) <?^ (2, 1, 2) /« relation

•>.(ff,-^(Tl)-HG((Ij-T-(T.j) = V=:

Tel est donc le théorème, essentiellement limité jusqu'ici au cas où n est premier, que nous allons vérifier par un certain nombre d'exemples, en donnant pour chacun d'eux la série des équations en co, ce qui va nous conduire en même temps à présenter des applications des diverses règles énoncées précédemment pour la formation de ces équations.

\ cet effet, j'emploierai pour abréger la notation suivante : (A, B, C) étant une forme quelconque, je poserai

(G, — B, A) = (A, B, C)„ (A, — A-hB, A — 2B-f-G) = (A,B, G),.

Il deviendra possible ainsi de rattacher immédiatement les équations aux formes réduites, par lesquelles il convient d'autant mieux de représenter les classes, qu'on obtiendra de la sorte les coefficients les plus simples et les valeurs de 10 pour lesquelles les séries elliptiques présentent la plus grande convergence. Effectivement, si Ton se borne aux équations qui fournissent des valeurs distinctes de o'(w), ou même à la seule équation type (voyez Comptes rendus^ p. 946 et § Il du présent Mémoire ), elle sera toujours Tune de celles-ci :

TIIÊORIK DRS ÉQUATIONS MODULAIRES. 5l

les indélerniinées x et y étant remplacées par w et i, et (A, B, C) étant une forme réduite. Je conviendrai enfin de les désigner seulement par leurs premiers membres et de représenter respectivement par S et S', pour la première et la seconde série de déterminants, les sommes de nombres d'équations donnant des valeurs distinctes pour o*(w), de sorte que la relation que nous nousproposons de vérifier sera

Cela posé, voici, en commençant par les cas les plus simples, les résultats que l'on obtient :

Le nombre V se réduit à zéro, 0(w) est une constante, et le discriminant de l'équation modulaire w* — v*" -\' iuv(\ — u^v^)z= o, ainsi que le donne facilement le calcul direct, est

D = ii*(» — "•)*•

La première série de déterminants fournit la seule valeur A = i ^ d'où la classe (i, o, i), qui par exception donne au lieu de deux équations une seule, (i, o, 1)2. La seconde série de déterminants n'existe pas, et l'on obtient simplement

La première série existe seule et donne A = 3, d'où les deux classes (1, o, 3), (2, i, 2). Mais on ne doit employer que la classe improprement primitive, qui, par exception encore, au lieu de six équations, n'en donne que deux, dont le type est (2, i, 2). La valeur D est

La première série donne A = 7, et la classe improprement primitive (2, I, 4 )« d'où l'équation type (2, 1, 4)<' t)na donc S= 2. Dans la deuxième série A'= 24, et Ton obtient les quatre équations

types :

de sorte que 2'= 8, S -j- S' = 10.

On verra dans un prochain article comment on parvient ensuite à l'expression ( * ) :

X (i — 3oi 960 M* -h 3 55o49'2a»6— 2. 178 23-2 m'^ — i 092 026 w'' — 2 178232^^0-+- 3 55o492a^»— 3oi 960^5» -h u^^y.

Pour les valeurs plus grandes de /i, je résumerai les résultats dans le Tableau suivant :

(') Le calcul fait par M. Bourgel nous a amenés à modifier quelques-uns des coefficients numériques donnés par Hermite. E. P.

THEORIE DES EQUATIONS &IOD U LA I R IIS.

PHEMUaiF SKIIIE.

DEUXIKMK SEniE.

(1,0, 40) (5,0, 8)(i,2,ll),

(9,3,9),(8,4.iOi

(3,1,8). Chi.l),

(fi. 0,8) (7» ',7)2 (4.2,13), (8, 4, 8)

(2,1,17), (fi, 3, 7),