II, 3, II

(1, 0, 208) (2, 0, io'4) (4, 0. 52) (8, 0, 26),

Une conséquence importante des résultats précédemment exposés consiste en ce que toutes les valeurs de w'=çp^(to) qui font acquérir des racines doubles à l'équation modulaire, représentent également des modules de fonctions elliptiques pour lesquelles a lieu la multiplication complexe. Nous avons vu en effet que la quantité w dépendait de la relation

(A, B, C) étant une forme quadratique de déterminant négatif, ce qui est précisément le caractère essentiel de ces modules. Je vais donc présenter à l'égard des équations algébriques qui servent à les déterminer les remarques auxquelles j'ai été naturellement amené par les recherches précédentes, et qui serviront de complément aux théorèmes fondamentaux déjà donnés sur ce sujet par M. Kronecker.

Voici d'abord un choix particulier dont je conviendrai pour les formes destinées à représenter les diverses classes quadratiques qui appartiennent au même déterminant. En désignant ces formes par (A, B, C) et faisant A = AC — B', je supposerai, ce qui est toujours possible, que C soit pair et \ impair, de sorte que dans le groupe proprement primitif (*) on aura, suivant que

A = i(mo(l4), B et - G impairs;

A = 2(mod4), B pair et - C impair;

A = — i(mod4), B impair et C multiple de 4«

En second lieu, et pour ce qui concerne le groupe improprement primitif, il ne sera posé aucune condition lorsque A ^ 3 (mod 8) ; mais, dans le cas de A ^ — i (mod 8), nous prendrons C impairement pair. Les formes ainsi choisies, et que nous garderons désormais pour représenter les classes, jouissent de cette pro-

(') Comptes rendus, p. 947 et § I du présent Mémoire.

TliÊOttlK DES ÉQUATIONS MODULAIRKS. 55

j>rîété de conserver les mêmes caractères dans toutes leurs transformées par des substitutions au déterminant w/j, x = aX + pY, j^ = yX + oY, où ^ est pair, a et o impairs. Cela posé, si Ton <lélerminc co en faisant

A to' -f- 'A B (0 -i- G = o,

( A, B, C) représentant successivement toutes les classes du groupe proprement primitif et de même déterminant — A, les diverses c^uantités x = o*((o) seront racines d'une équation qui sera réciproque, dont le degré sera double du nombre des classes et dont les coefficients seront entiers, eu supposant celui de la puissance la plus élevée de x égal à Tunité.

Kn second lieu, et à l'égard du groupe improprement primitif, ^^xï. obtiendra comme précédemment une équation réciproque dont le degré sera encore le double du nombre des classes, mais avec i.ine puissance de 2 pour coefficient du premier terme lorsque -A^ — I (mod 8). Enfin, si l'on suppose A ^ 3 (mod 8), le degré î*era six fois le nombre des classes, et tous les coefficients entiers, oelui du premier terme étant l'unité.

Voici maintenant la méthode par laquelle on peut obtenir ces équations dans tous les cas.