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Convenons, pour mettre en évidence le déterminant des formes «juadratiques dont elles dépendent principalement, de les désigner |)ar

Fi (j", A) = o lorsque A ^ i (mofl i), Fi(^, A) = o lorsque A = ';i(mod4),

le groupe proprement primitif existant seul pour ces deux déterminants. Dans les cas suivants, ce sont les équations qui répondent aux formes du groupe improprement primitif qu'il convient de considérer, et nous les désignerons par

.fi(j?, A) = o lorsque A^3(inod8), Jj(j7, A) = () lorsque A = — i(mod8).

Cela posé, soit 6(i', u) = o l'équation modulaire pour la transfor-

nialion qui se rapporte à un nombre impair n quelconque. Enjoignant à cette équation celles-ci :

I" a* = , as = ar,

j<* = I — ar,

on (?n déduira quatre équations en x^ dont les premiers membres présenteront cette propriété remarquable d'être le produit de facteurs qui seront respectivement de la forme :

i" Fi^J*, A) \ t in — I, a/i — 9, 2/1 — aS, . . .,

> A avant les valeurs < J" ,T, ( r, A) l • j 4 /i — 1 , 4 /i — 9, 4 /i — 25, ... ,

4" .r rt ."^ilT, A) ) \ 8/1 — I» 8/1 — 9, 8/1 — 25, . . ..

Il on résulte que les polynômes F|(x, A), ^^{x^ A), ef|(x, A), ^^i{a\ A) s'obtiennent en déterminant le plus grand commun divistMir entre les premiers membres de deux des équations que nous \enons de considérer, et répondant à deux valeurs de /i, qui seront surcessivemeut :

-*— p n p elanl impairs;

2 et p' étant pairs;

3* ^ j,'* -——--> p et p' étant impairs;

p et p' élanl impairs.

Voici ensuite comment, sans changer leur degré, on déduira des deux équations J| \^x. A) = o, ^^{j\ A) = o, qui se rapportent au groupe improprement primitif, celles qui correspondent au groupe pivpremenl primiiit. Dans les deux cas on calculera d^abord la

truu>formée de degré sous-double enz^^-lx-^^-^ )> puis on

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