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y remplacera z par ( ^' j > ce qui ramènera au degré primitif ( * ).

Enfin, pour passer des équations relatives au déterminant — A à celles qui concernent le déterminant — 4^? on fera dans Féqualion qui appartient au groupe proprement primitif de formes de déterminant — A la substitution

El, si Ton représente les classes de déterminant — 4^» dont les trois termes ne sont pas pairs en même temps, par des formes (A, B, C), où C soit pair, A impair, en posant

Ati>*-h 2Bti> -h C = G,

les quantités ©•(w) seront précisément les racines de l'équation en^. Elle est d'ailleurs évidemment d'un degré double de l'équation en X, de même que le nombre des classes de déterminant — 4^7 ^ont il vient d'être question, est double du nombre des classes de déterminant — A. L'application plusieurs fois répétée de ce procédé suffirait à donner les équations qui se rapportent aux déterminants multiples d'une puissance de 4* Mais ici il convient de distinguer ceux qui sont le quadruple d'un nombre impair de ceux qui sont multiples de 8. C'est aux premiers que s'applique spécialement la méthode qui vient d'être indiquée; et dorénavant les équations qui leur correspondent seront désignées par Fi(x, A) = o. En représentant par F|(j7, A) = o celles qui concernent les déterminants multiples de 8, on a en effet cette proposition que le premier membre de l'équation en x qui résulte du sjstème

analogue à ceux qui ont été considérés tout à l'heure, est le produit de facteurs de la forme Fy(x^ A), A prenant la suite des valeurs 4(^ — 0^ 4(^ — 9)7 4(^ — ^5), etc. Je n'insiste pas en ce moment sur les conséquences à déduire de là, non plus que sur

(*) Ce calcul présente, à l'égard de Téquation ^^{x, 1) =0, la circonstance remarquable que le coefficient de la puissance la plus élevée de x, qui était une puissance de 2, devient dans l'équation transfornnée égal à Tuoitc.

i>8 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

beaucoup de questions importantes pour la théorie des formes quadratiques auxquelles conduisent les résultats précédents ( ' ), et je me bornerai à remarquer, que des propositions énoncées sur les réunions d'ordres nommées groupes proprement et improprement primitifs, on conclut immédiatement les suivantes :

Ayant représenté le système des classes de Vordre proprement primitif pour un déterminant quelconque par des formes (A, B, C), où C est pair, A impair, les quantités rD*{iù)^ en définissant w par les relations Aïo^-i- 2Bto-|- C = o, sont ra-cines d^une équation réciproque à coefficients entiers dont le degré est précisément double du nombre des classes.

Et de même, si Uon représente les classes de Vordre improprement primitif de déterminant A^ — i (mod 8) par des formes (A, B, C), où. C est impairement pair, on obtiendra une équation réciproque dont le degré sera encore double du nombre des classes.

Mais pour Vordre improprement primitif de déterminant ^ 3 (mod 8), le degré est six fois le nombre des classes.

On peut enfin supooser égal à V unité le coefficient du premier terme dans ces équations, sauf pour celles qui répondent à Vordre improprement primitif où il est une puissance de 'a lorsque A ^ — i (mod 8).

La principale propriété du polynôme ^\{x, A) consiste en ce qu'il se décompose en facteurs du sixième degré de cette forme remarquable

<le sorte que la substitution y=:— ,— . — — t^^ ramène l'équation

* ^ (x* — xy *

''^i{Xy A) = o à un degré précisément égal au nombre des classes improprement primitives de déterminant — A. Cela résulte de ce qu'on peut réunir les racines en groupes, où elles sont représentées

(') En particulier pour les soramatioDS analoj^ucs à celles qui ont été données pour la première fois par M. Kronecker.

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par l'expression o* ( r— ) » «, 6, c, d étant des nombres entiers

quelconques, tels que ad — bc = i. Or, en faisant ç«(w) = p, cette expression représente les six valeurs distinctes

et telles seront les racines de l'équation

car on vérifie immédiatement qu'elle reste la même quand on y remplace x par - » i — Xj et dès lors par les substitutions composées de celles-là, savoir > — ^- — , D'ailleurs, p étant seul

arbitraire, cette équation, qui contient une indéterminée a, aura bien la forme analytique la plus générale. Elle se présente au reste d'elle-même, en recherchant dans les cas les plus simples le polynôme ef,(x, A). Partons, par exemple, des équations modulaires pour /i = 3 et /i = 5, auxquelles on doit joindre, d'après ce qui a été dit :

M« = ar = .

Parmi les diverses formes dont elles sont susceptibles, je choisirai celles que Jacobi obtient en faisant ^ = i — 2k^j /= i — a)/**,

savoir :

(^ - /)^ = 64(1 - 7»)(i - /VH3 4- ^/),

(^~/)«= ^56(1 ~^«)(i-/*)li6^/(9-^/)'-t- 9(45 -^/)(7-/)M.

En effet, ces quantités s'obtiennent immédiatement en x, ci en substituant les valeurs

d'où

la première équation donne

(arî— ar-+- \)\{x'^ — 07-1- i)*H- i^ix^-— .r)'] = o, et la seconde

[(a:«— ar-^i)»-H2'(ar* — .r)«][(a:«--ar + i)5+2".3»(a;ï — a:)»] = o.

6o OEUVRES DE CHARLES MERMITE.

Le facteur commun aux deux cas répond à A == 1 1 , et les autres aux déterminants — 3, -|- 19. Pour A =27, on trouverait

( J7« — ar 4-1)» -♦- 27. 5». 3 (a?»— ar)« = o.

En général, lorsque l'ordre improprement primitif de déterminant — A sera formé de la seule classe (2, i, )> a sera un

nombre entier qu'on pourra calculer en exprimant que Téquation est vérifiée pour

on (Faprès la condition

2tU*-h2tOH = o, tu = — •

Soit donc (f = e'^", on trouvera, en employant l'expression de Jacobi,

celle valeur où n'entre que g- :

g^ i (f-h2^.3.5y^-4- >>.33.5.y*-f-2ft.3.5.7.7^-H...)»

el, par suite, en remarquant que c/^= — e"'^,