a = eWA
Or, depuis A = 19, les termes de la série, à partir du troisième, n'influent plus sur la partie entière, de sorte qu'on a exactement, en désignant par a le nombre entier immédiatement supérieur
D'ailleurs ces termes négligés décroissent avec une grande rapidité lorsque A augmente; il en résulte que la transcendante numérique c'^^ approche alors extrêmement d'un nombre entier. Soit, par exemple, A =43, qui donne une seule classe improprement primitive, on trouve
THÉORIE DES EQUATIONS MODULAIRES. 6l
et a = 2'<^.3'.5'. Les déterminants — 67 et — i63 sont dans le même cas, de sorte que, dans la quantité e'^'®', la partie décimale commencerait par une suite de douze chiffres égaux à 9.
L'étude des fonctions F| (a:, A) et F2(ar, A), qui se présentent avec les mêmes propriétés, conduit à des résultats analogues à ceux que nous venons d^ndiquer relativement à ^i(;r, A), tandis que ^2(^1 A), qui correspond à l'ordre improprement primitif des classes de déterminant — A, dans le cas de A^ — i(mod8), semble devoir rester entièrement en dehors de cette analogie. Réservant pour un autre moment Tétude de cette fonction, je me bornerai maintenant aux résultats qui concernent les deux premières, et dont voici la principale propriété :
Si Ton excepte les cas de A = i, A = 2, l'ensemble de leurs racines peut être décomposé en groupes, qui chacun en comprennent quatre que l'on peut représenter ainsi :
Il s'ensuit qu'elles sont décomposables en facteurs du quatrième degré de cette forme
et qu'on peut ramener les deux équations
FiCa-, A) = o, Fj{:r, A) = o
k un degré quatre fois moindre, moitié par conséquent du nombre des classes de déterminant — A, par la substitution
Les considérations arithmétiques qui conduisent à ce résultat montrent en même temps que le nombre des classes de déterminant — A est toujours pair lorsque A ^ 1 ou ^ 2 (mod 4), sauf les
6?. OEUVRKS DE CHARLES HERMETK.
exceptions ci-dessus mentionnées de A = i, A = 2. S'il se réduit à deux, a sera un nombre entier, qu'on pourra calculer comme il suit :
I" A = I (mod 4}-
Les deux classes sont alors représentées par les formes réduites
el la première donne l'équation
(I, o, A), = 0, d'où
Il suffit donc d'exprimer que
(;r -T- 1)'' -^ (xt{x — i)' = o a lieu pour
ce qui donne, en faisant q = e"^**»,
16a = — ( — h io4 •+• 4 '^y^Ç •+• 96 256yî 4-. . . J ,
et par suite comme, d'après la valeur de co, q = — e "^>^^,
iGaj = e'T'và — loi ~ ^—^ — ^ -f-
eTCv'A c5^\ A
Or depuis A =: 9, on peut se borner aux deux premiers termes de cette suite, et, si l'on désigne par a le nombre entier immédiatement supérieur à e^^^, on aura exactement
a — io4
Les déterminants, qui ne donnent ainsi que deux classes dans
Tordre primitif et auxquels on pourra appliquer cette formule,
sont
— 5, — 9, — 13, — 25, —37, etc.
Par la métbode algébrique indiquée dans un précédent article
TIIÉORIK DES ÉQUATIONS MODULAIRES. (Si
^ ^'oyez Comptes rendus, l. XLVIII, p. 1097 ^^ § ^^'^' *^'" présent ^^^émoîre), on obtient les résultats suivants que l'emploi de la for- :g^rïulc pourra servir à vérifier, savoir :
(ar-f-i)'» H-3'*.'2^r (jr — r)2 — o A = i3,
(a* -f- i)*» -~ 5.3^.9."ir(j^ — i)* = o A = îi5.
•i« A — -2 ( inod 4 )•
Les deux classes, qu'on suppose seules exister, sont représentées l^arles formes
i» la première correspond la valeur
to = i v/A,
<Xo\ï
et, tout à fait comme précédemment, on est conduit à l'expression
\ ei«v^A c*^/A J
En désignant encore par a le nombre entier immédiatement supérieur à e'^v^Â^ Qji aura la formule
a -T- ici " = -— Î6-'
qui sera applicable à partir de A = 10.
Les déterminants qui ne fournissent que deux classes dans l'ordre primitif seront
— 6, — 10, — 18, — l'Zj — 38, cic;
si on les joint aux précédents, ainsi qu'à ceux dont il a déjà été question à propos du poljnome ê%{Xj A), on aura autant de ras dans lesquels la quantité e'^^^ approche d'autant plus d'un nombre entier que A sera plus grand; ainsi, par exemple, dans la quantité giç/s» la partie décimale commence par neuf chiffres égaux à 9.
Voici les équations auxquelles on parvient, comme on va le voir, par la méthode algébrique générale, savoir :
jpî — Gj?4-i=o a = 2,
(ar-hi)* — 3».a*.;r (ar — i)« = o A= 6,
(a:-Hi)* — 5*.2'.^ (a: — i)« = o A = lo,
(a: -»-i)* — 7«.'2*.a7 (a?— i)«rrzo A=i8,
(a:-+-i)* — II*. 3*.2*jr(ar— I)* = o A = a2.
On remarquera que le coefficient numérique — a est toujours un carré divisible par A, sauf le cas du déterminant — i8, le seul qui, n'étant pas le double d'un nombre premier, ne renferme cependant que deux classes dans Tordre primitif. Mais, lorsqu'on a A r.:; I (mod4)? c'est la quantité a-f- i6 qui contient A en facteur l(>rH(|ti'iI est un nombre premier, et le quotient — - — se présente toujours comme égal à un carré. La même circonstance se reiniin|iie dans les équations
h l'éjçard de la quantité 4^ 4- 27 (•), qui est également le produit i\r A par un carré, lorsque A est un nombre premier.
hi' (!iil(Mil de» polynômes F,(j7, A) et F2(^, A) repose, comme il Il Mt\ dit, Miir la formation de l'équation qui résulte du système
IHI
H(i>, m) = o, II"* — —
.j|(|.» ,/' I 1)* I «(o?' — a:)'] = (aa:' -Sx'— 3a: + 2)2-l-(4a-ha7)(x»— a?)«
«Il iiiMitliM roritfinf^ ni donne en même temps une résolution facile des équations f I .<', A ) - «f loriiquVlIci uonl du 6« degré.
en faisant u* = x (*), Les qiiantilcs A, qui répondent dans les deux cas aux valeurs de n pour lesquelles on possède Téquation modulaire, sont indiquées dans ce Tableau :
(mot! 4).
(mod i )
lO
lO,
lO,
On y remarque que n = ii conduit à trois déterminants ^2(mod4)> auxquels correspondent seulement deux classes dans l'ordre primitif, le déterminant — 1 8 fournissant en outre une classe dérivée de (i, o, 2). Ce cas donnera donc les polynômes F2(j:, A) pour les valeurs A = 2, 6, 18, 22, et nous le choisirons comme exemple de la marche qu'on peut suivre dans ce genre de calcul.
J'observe à cet effet qu'en disposant dans un ordre convenable les termes de l'équation donnée par M. Sohnke, on peut l'écrire
-h ^.\ir-v^(v^ — a*) -+- 32r»U'»» — 22 ii^v^(v^ -h u^) -f- SSu^v^ -h 1 32 a' w"^ — j 32 w* r* -^ 88 lû v^ -h 22 uç ( v^ -+- u^) — 32 itv = o.
ou bien, en mettant en évidence le facteur i'* — u\
(V* — M*)(P« -h W« -h i^U^V^ -h iGfiwM* -h Z|4 W*t'') -+- 32a»»^'»' — 22W3^3(p8| 1^8)4-88^^3-^ l32M'i'"
— I 32 U^ i>^ — 88 U^ V^ -+- 22 tlV (V^ -h U^) — 32 Ml' = o.
( ^ ) Le système
iTZ
donne aussi une équation en ^ dont le premier membre est le produit de facteurs qui sont tous de la forme Fi(vF, A) ou l^'^ix^ A). Le premier casa lieu lorsque le nombre w, (|ui désigne l'ordre de la transformation ù lafiuellc se rapporte l'équation modulaire, est 33 i (mod4)iCt alors
f étant impair. Si /i — — i (mod 4)? ce sont les facteurs V.ix, A) qui se présentent, A étant encore n — p^, mais p devant être supposé pair.
