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tW*t UEUYUKS »!•: CllAHLKS tlEUMlTE.

Or en faisant wr = îv, la relation

«Ion ne

r* H- M* = I — ir»,

r' — M* = I — 4 cr^ H- 1^8,

r* — M* = y,/i — () iv* ■+• w^ ;

i\v sorle quon |)eut immédiatement déduire de Téquation modulaire une relation contenant seulement (r, savoir :

-r- IOil'( iv'o -+- II tr' -+- 9.2 iV^ — 2'2«'^ — I i w' l) = o.

Or, c*n faisant disparaître le radical on parvient à une équation iveipro(|ue en ii'-, ce qui conduit à poser

v\ Ton Irouvfî ainsi

t 5'— 8)(5' H- i\z -4- i6o)'— ioo(;5 — a)(5î-+- 12s -+- 32)* = o

ziz -h /\)^(z — io)(z^-^ \\yi) = o.

MainhMuinl uous observerons qu'en faisant //*= j™, on a ii'V \\r — . et «'* H —'}= -: .

\\\\^\ Texprrssion ' • ^ __ dont il a été déjà parlé comme eii-

Iniiit t^iMeutielIrnitMil dans la composition des équations que nous \(imIiMIn olilenir, se préseute ici d'elle-même, et, puisque

U UUMlililt^ « HVVii lit'c à 3 par cette relation très simple

jt=-(;:*-4)^

THKORIK DES ÉQUATIONS IIODULAIRKS. 67

Il en résulte que l'équation en x est le produit des facteurs suivants :

(ar-Hi)* — 2*x(j? — 1)', [(j^ -h i)* — 'S^,7>x{x — 1)*]',

le dernier, qui répond à la valeur la plus élevée de A, étant le seul qui n'entre pas au carré, car

(.r-+- D* — '}>xi^x — D» = (jrî — 6ar-f-i)'.

Et, comme ils sont écrits en suivant Tordre des valeurs croissantes de la quantité a, ils correspondent respectivement à A = 2,6, 18,22, puisque, abstraction faite du signe, a augmente avec A d'après la relation

Le polynôme ^-x^x. A), dans le cas le plus simple 011 l'on â A='j, s'obtient immédiatement par les équations fondamentales

en supposant r 1= u, et supprimant dans le résultat le facteur x. On trouve ainsi l'équation

iC)X^ — iix -- tCt = o.

Pour les valeurs suivantes de A, le calcul devient plus difficile, et c'est en recourant à des métbodes particulières que le P. Joubert, dans un travail important sur le discriminant des équations en

\ = ( M' Cl V = V ^»

a réussi à obtenir ces polynômes pour A = i5, 23, 3i. Je me bornerai à donner l'idée de ces procédés et des méthodes variées qu'on peut suivre dans ces recherches en considérant le cas de A = 1 5.

68 QCITAES DK CHAALES HCftMITE.

Alors on a. dans l'ordre iuiproprement primitif, deux formes conduisant aux équations tvpes

et, si Ton fait pour un instant

( 4f «1 4) = 0 ou 2Co' -4-to -T- 2 = O Cl { = ^«(«)4'*{tt>),

on trouvera très aisément Téqualion en i, en remarquant qu^on peut écrire

d'où

6( ACO -I- I ) = •!/ I ) = o ( — ) >

et, par suile, en élevant à la puissance quatrième,