I -^- 4^* (^ w ) •> 9- < eu

•2 'v* « eu > I -r- 9* ( Cï> j

Comme on a d'ailleurs on trouvera

ce (|ui donne

Le facteur du second degré convient seul, cl Ton en lire Téqualion en »r, en remarquant qu'on doit supposer

ç* ( w ) — I de sorte qu'on aura

ct, par suite,

(^clte équation, conformément à ce qu'on a dit en «général, a pour coefficient de .r* une puissance de •>, et la forme particulière .•50US Ia(picIIe elle se présente pernicttra iVcn déduire très facilement la transformée, qui correspond à l'ordre proprement pri-

milif ( * ), savoir :

(x — i)* -h 2^./îyx{x — 1)2 -4- 2^^x* = o,

et de vérifier ainsi que dans celle transformée le coefficient de la puissance de x redevient égal à runité.

Nous possédons maintenant tous les éléments qui figurent dans le discriminant de l'équation modulaire du i?/ degré, qui sont les fadeurs relatifs à Tordre improprement primitif de déterminant — •-, et à Tordre primitif de déterminant — 24. Le premier, comme on vient de le trouver, est iGx- — 3i j; + 16. Le second doit être lire de l'éqnalion

qui correspond au déterminant — 6, en y remplaçant x par

^ \ yjx

et faisant disparaître \lx par l'élévation au carré. On trouve ainsi l'expression

-r' — 3oi 96037"^ -f- 3 )jo 49?'^® — 2 178 iltix^ — 1 092 026^7^

— 2 178 9-32 ar' -h 3 Sjo ^^s^ix^ — 3oi 960a: -f- i = o;

ce qui conduit au résultat déjà donné, et qu'il eût été bien difficile, comme on voit, de tirer algébriquement de l'équation modulaire. Il ne me reste plus, pour terminer cette partie de mes recherches, qu'à indiquer un moyen de le vérifier, ce qui sera l'objet d'un prochain article.

En désignant par D le produit des carrés des difierences des racines de Téquation modulaire B(r, w) = o de degré n -{- i , lors-

(') Voyez Comptes rendus, t. XLVlll, p. 1098 et § VII du prcsenl Mémoire.

qu'on suppose n un nombre premier, faisons, pour un instant.

Cetle expression sera non seulement rationnelle et entière en w, puisque D est un carré parfait, mais les coefficients des diverses puissances de ii seront eux-mêmes dos nombres entiers. Or, en remplaçant ces puissances par leurs expressions sous forme de séries infinies en fonction de y = <'"^**», on parvient à un résultat dont la valeur, par rapport au module premier /?, s'obtient comme il suit.

Faisons

et, par conséquent,

u = ©((.>) = \/'à\ qf{q),

on aura cette congruence

(0 ^ 2 V(/- ^^ -r [/(,^) ^ sq/\q)f^' [f(q)- (J) ç~^Ag"')\ -«od n,

dans laquelle le coefficient de la puissance la moins élevée de y a été conservé sans addition ni suppression de multiples de /i, ce qui permet de déterminer le facteur nuuiéri(|ue qui doit être joint aux divers polynômes en //, que maintenant nous connaissons dans les cas de /i = 3, ,5,7, 11, afin d'obtenir précisément la valeur d(» (0. Ce facteur, comme on voit, est toujours une puissance de 2; ainsi, dans le cas de //= i 1 , on aura

(Dr= >.t6,/6(,,/S)5(,(i {, ,fS^ ir)/^»6)(l — 30I gfM) M« -h . . . ) •

On pourrait aussi présenter le second membre de la congruence précédente sous cette autre forme

■(Aâr['<-)--(r,)"H^

mais c'est la première qu'il convient d'employer pour vérifier,

TI1E0RI1-: lïKS EQUATIONS MODULAIRES. 71

-^i^omme nous l'avons annoncé, le discriminant de l'équation modulaire du douzième degré. Je remarque à cet cflet que le polynôme

I — ici ()1)Om8 -t- 3 5:>6 49'>-w'® -H. . .

sse réduit suivant le module i i à cette expression simple

<îl qu'on trouvera par suite

(0 j: m6(i-t- 3 a» — 3m24 — 3,/i2 ^. u^t) |-...) (inofl n).

Maintenant, si Ton met à la place des diverses puissances de u leurs développements en fonctions de <y, il viendra

CO -= (v/2 v7)' (I — J^q -i- iq- -r- 3^' H- 4<7* + 37^ -f.. . .).

Or, c'est précisément le résultat auquel conduit la congruence, en faisant les développeiuents Indiqués, d'où résulte la vérification <jue nous désirions obtenir.

C'est à ce point que je me suis arrêté jusqu'ici dans l'étude des <fqiiations modulaires, et il ne me reste plus, en considérant en particulier celles du sixième, du huitième et du douzième degré, qu'il donner la méthode que j'ai suivie pour en déduire des réduites d'un de«rré uioindre d'une unité. Galois, ainsi que je l'ai déjà dit au commencement de ces recherches, a le premier découvert le fait si remarquable de cette réduction, au double point de vue de la théorie des fonctions elliptiques et de l'Algèbre, et voici, dans ses idées, le théorème qui sert de j)riucipe fondamental.

Remarquons préalablement que les racines de l'équation modulaire sont représentées par

i' = w«[sin coain9p sin coam^p. . . sin coain(w — UpJ»

en faisant

/// K -4- m' iW

72 OEt'VRES DE CHARLES HERMETE.

OÙ m et m! sont deux nombres entiers qu*on peut multiplier par un même facteur sans changer la valeur de r. lien résulte que c'est uniquement le rapport — qui définit chaque racine, et, comme les deux termes sont pris suivant le module /i, il reçoit d'une part la valeur x pour m ■=. o, et de l'autre la série des n nombres entiers o, I, 1*, . . ., n — 1 . On est donc conduit naturellement, pour représenter les racines de l'équation modulaire, à la notation i>, /r désignant — et devant représenter les /i -f- 1 valeurs oo, o, i, 2, . . ., n — I . Cela posé, voici la proposition de Galois :

Toute fonction rationnelle non symétrique des racines Vk qui ne change pas en remplaçant les divers indices k par

, ' > rt, 6, Cy d étant des nombres entiers pris suivant le module n et le déterminant ad — cb n étant pas ^o ('), sera exprimable en fonction rationnelle de u (^).

J'ajouterai la remarque que ce théorème subsiste en particularisant la substitution —, j> de manière que ad — bc soit résidu

ck -\- d ^

(piadratique de //, pourvu qu'on s'adjoigne le radical

Tel est, par exemple, le produit des diirérences des racines n(rA — **A')^ qui change de signe ou se reproduit exactement,

lorsqu'en remplaçant k par -jr^^/^ <^d — bc est non résidu ou résidu quadratique de //, et qui s'exj^rinie, comme on l'a vu au jiaragraphe Xlll, par une fonction rationnelle de u à coefficients entiers, mais affectée du facteur

En elVel, nommant F et F' les deux valeurs que peut prendre une

(') M. Scrrci a fait des subslitulions <lo roUc forme l'objet de ses recherches dans plusieurs articles publiés dans les Comptes rendus, t. XLVIII, séances des lo, 17, et » j janvier i*<J<j.

(-; Une donions'.ralion d<' ce théorème important a été donnée par le P. Jouhert dans un travail (|ue jai déjà elle {Comjttes rendus, t. XLVI, p. 718).

fonction rationnelle des racines invariable par les substitutions où

nd — bc est résidu, les deux expressions F -+- F', =r. reste-

ront invariables pour la totalité des substitutions, et s'exprimeront rationnellement en w, d'après la proposition de Galois; il en résulte que F et F' s'exprimeront elles-mêmes sous la forme annoncée.

Ce point essentiel établi, la question de l'abaissement des équations modulaires à un degré moindre d'une unité dépend d'une

élude plus approfondie des substitutions -r -j> et dont quelques

traces seulement subsistent dans ce qui nous a été conservé des travaux de Galois. C'est en suivant la voie qu'elles indiquent que M. Betti a retrouvé l'importante proposition relative aux équations du sixième, du huitième et du douzième degré, et l'extrait suivant d'une Lettre que m'a fait l'honneur de m'adresser ce savant géomètre montrera comment de cette manière se présentent les résultats auxquels de mon côté je parvenais par une méthode toute diflerente :

« Pise, i\ mars iSjq*

» Dans un Mémoire Sopra Vabassamento delV equazioni modulari, publié en i853 dans les Annali di TortoUni, j'ai fait l'étude des substitutions

• ak -k- b

ck '\- d

pour démontrer la possibilité de l'abaissement des équations modulaires, et j'ai obtenu les résultats que vous me communiquez dans votre Lettre.

» Voici pour le module premier n^=^ f\p -\-Z les expressions que j'ai trouvées alors pour la décomposition en n groupes du groupe dont toutes les substitutions sont données par la forme (i) où ad — bc est résidu de //.

» Si g est une racine primitive de /i, jouissant de cette propriété que, g — I étant résidu de n, les puissances impaires <in — 2 de g vérifient la congruence

[^ÎX* — .^(^"-HD^r :-l] [^2j.2 1'^-;. i^jr..:. ,] - o (1110(1. Il)

(ce qui irarrive que pour /i = -, i i), on aura, si Ton fait

un j^roupe [A\ 0( A* )] de subsli tu lions de la forme (i)

telles, qu'en faisant sur ce groupe les substitutions (A-, k -\- i) on obtient /i groupes, dont Tensemble est le groupe proposé.

)) Or si w = 7 on a deux racines |)rimitives ^ = 3, xr = 5 ; 5 — i est rrsidu de 7 et les deux puissances impaires de 5 inférieures à 5, r'esl-H-dire 5, 5' vérifient la congruence

( 1T^ -^ 7.x -ir- \) {^X^ -^ T -r- \) — O ( inO(l 7).

)» Donc, lorsque /« = 7, on a deux systèmes de valeurs pour

Hik^), à savoir :

A* — 0 K — So A"

en |)renant «^ = .'{, et

-. , A- -hib k -r- b — a

on pi'enanl ^= 5. a et b désignant des résidus de 7.

.. Si /i = 1 1 . on a quatre racines primitives : 2, 6, 7,8:2 — i est ré>idu de 1 1 et les puissances de 2, impaires et inférieures à 9, vérilient la congruence

IV :iic":s',;'. *^ - ï «^1 n>îdu de 1 1 et les pui^^ances de 6 impaires et

? r* '- - 1 >T^ — :^Jr — 1 - o «modii). . fcV >. it. ri^C'Tifî z '- '• ^"5 •'• r*->idus de 11, on aura

THEORIE DES EQUATIONS MODULAIRES. JJ

» Les racines primitives 'j et 8 ne jouissent pas de la propriété de rendre g — i résidu de 1 1 , et la congruence lorsqu'on y fait g = 7, 8 n'est pas satisfaite par les puissances de 7 et 8 impaires el inférieures à 9.

» Les substitutions 0(A), 2r(/i) jouissent de la propriété d'être à lettres conjointes, c'est-à-dire qu'en divisant les lettres en systèmes de deux lettres chacune de la manière suivante :

toute substitution 9(A*), S(/r), ou échange entre elles les lettres d un système, ou change un système dans un autre.

» Dans le cas de /i = 5 j'avais obtenu des résultats semblables aux précédents et formé un groupe de douze permutations en considérant les trois substitutions

^t celles qu'on en déduit en les composant entre elles. ...»

G est sous un point de vue bien diflerent que je vais maintenant traiter les mêmes questions. Ainsi, laissant de côté toute considéralion relative aux décompositions de groupes, je définis, a priori, pour /i = 5, 7, II, l^î> racines z des équations réduites du cin- ^^ièine, du septième et du onzième degré, de cette manière, savoir :

n = II, Zi = {v^ — P/;(i',^/ - l'2 + ,)(i'4H-i — i^8-M)(t'3-f-<— "t'6-f-l)

les indices /devant être pris respectivement suivant le module n. De la sorte on obtient trois systèmes de n fonctions rationnelles des racines r, et je vérifie que les quantités qu'ils comprennent ne font que s'échanger entre elles lorsqu'on fait respectivement ces

substitutions

Il en résulte, par des compositions successives, que ces syst^^nies demeurent invariables pour les substitutions ( ^ ) > où rt est un résidu quadratique quelconque de n. Maintenant il est visible qu'ils ne changent pas non plus lorsqu'on fait la substitution ( j ; et

si l'on vérifie encore qu'il en est de même à l'égard de celle-ci I > on arrivera à cette conclusion qu'ils demeurent inva-

riables pour toutes les substitutions où Ton met, au lieu de A", -r-—jy ^fd — Oc étant résidu de //. En efl'el, cette expression, dans

toute sa généralité, s'obtient en composant entre elles celles que nous venons de considérer. Le ibéorème du paragraphe XIV suffit donc pour nous assurer que les équations réduites en z auront pour coefficients des fonctions rationnelles de //, où ne figureront d'irrationnelles, suivant les cas, que les radicaux y/5, y/ — -j, y/ — i i .

Si l'on cherche maintenant les subsliuitions spéciales ( „ ) qui laisseront invariable une seule des racines considérée isolément, Zq par exemple, on trouvera aisément ces résultats, où a ei b désignent des résidus quadratiques de //, savoir :

n = 5 0(Â) ^ ak,

n = y ^U k) ^ ak,

n = Il 0(X; — ak,

Ce sont les expressions auxquelles M. BeUi est arrivé par une aulre

• r , , i fl' — I , . . . ,

Noie, et qui lormonl en gênerai — subslilulions conjuguées,

I 1 • ' ffk -- b , , . . » • 1

lie sorle (|ue toules les quantités —r—r ou aa — uc es! résidu qua-

k-hb " k~-xb

k — ib "'k-b'

THÉORIE DES EQUATIONS MODULAIRES. nn

drat-îque de /i, peuvent être ainsi représentées :

£ étant un nombre entier pris suivant le module n,

Kiifiii, si l'on désigne par z^^i) ce que devient 3/ lorsqu'on effectue SUIT les racines v les substitutions que nous avons considérées, on Iro^mvera, pour /i = 5,

oii)^ai -^ b ^ (al -^ b)^ -\~ Cy

pour /i = 7,

çp(i) izH ai -h b ^ — (ai -+- b)^ — i(ai-h b)^ -+- c,

pot.mr /j = 1 I,

<^(i) = ai-\- b= (ai-^ by -h 3(rti-i-6)^ -h c,

h ^V c étant des nombres entiers quelconques pris suivant le modtile n, et a étant résidu quadratique, ce qui représente en général

— substitutions distinctes.

Les équations du septième et du onzième degré présentant cette propriété que les fonctions non symétriques de leurs racines invariables par les substitutions ainsi définies ont une valeur rationnelle, constituent un ordre spécial d'irrationalité qui les distingue tellement des équations les plus générales de ces degrés. Ce sont, suivant l'expression de M. Kronecker, des équations douées d\tff^ciionsj et' qu'il sera sans doute possible de ramener analytiquemenlà celles dont la théorie des fonctions analytiques a donné la première notion. Mais, laissant de côté les belles et difficiles quesl^ons auxquelles conduit ce sujet, et que M. Kronecker a le pre-

vnier abordées, je me bornerai à faire voir que | '^' ^ représente

l>ieii^ en attribuant à la fonction es/ toutes les valeurs, un système ^^ suLslitutioiis conjuguées. Posons en effet, pour un instant,

y(i)^-i^--jj^.^

^^ sorte qu'on ait, pour n = ^^

(i(i) =^ ai -^ b =i y (ai -i- b) -^- c\

^8 OKUVRES DE CHARLES HERHITE.

on vérifie sans peine que

X[X(')]-' > mod 7,

a étant supposé résidu de 7. Et faisant de même, pour /i = 1 1,

yii) = i^-^3i^, on aura

XfX^01-« ( mod II,

rt étant résidu de i 1 .

Ainsi les fondions -/{ai -\- b)^ comme les expressions p simples ai-}- />, se reproduisent par la composition. De là résu pour les nombres premiers /ï = 7, 1 1, l'existence de fonctions

n lellres ayant ' ' .' '— r > c'esl-à-dire 3o et 60480 valeurs. Toi

deux ont été rencontrées par M. Kronecker, qui a le premier hlié (Comptes fendus des séances de l'Académie de Bei'i 9/1 avril i858) le cas des fonctions de sept lettres, et fait à l'ég de la représentation analytique des substitutions ici employée une observation pleine de justesse, montrant de quelle mani deux expressions algébriquement difïerenles peuvent cepend ne représenter que la même substitution, et par là réduisant à seul et même type deux systèmes que j'avais d'abord considc comme distincts. ( Voyez les Annalidi Matematica, année 18 n"' 1 et Î2 et C, It,, t. XLVl, p. 879).

(•) Les expressions «lans le cas des substitutions de cinq lettres, savoir :

ont été données a\ant moi par M. Uclli dans le lome II des Annales de Torio p. 17. Pour le cas dr sept Ici très, voyez les Annali di Matematica, année 1 n' 1.

TllKORIK DES EQUATIONS MODULAIRES. 79

I^e calcul des équations réduites en z pour les trois valeurs de n que n.ous avons à considérer repose sur deux remarques : que Ton

peut: y remplacer d'une part u par eu et z par e ^ z^ e étant une racine huitième de l'unité; et de l'autre, n par - et ^ par

I^u première, jointe à cette observation que le développement des raciixes en fonctions de q commence par

prouve que les roeflicicnls sont des polynômes en //.* contenant en lacieur une certaine puissance de u; ainsi ces équations sont composées de termes de cette forme

^^ l'exposant av se détermine en prenant la valeur positive de '' " (mod8), qui est immédlalement supérieure à la quantité v — . La seconde remarque montre que les polynômes

a -4- bu^ -H cu^^ -\-, . .

sont réciproques, mais à cet égard en distinguant des deux autres

le cas de /i = 1 1, à cause du facteur ( — i) * * , alors égal à — I. De là résulte en ell'et que les polynômes facteurs des puissances paires de z ont leurs coefficients équidistants des extrêmes égaux et de signes contraires, tandis que ceux qui aflectent les puissances impaires ont, comme pour n ^= 5, ^, leurs coefficients égaux et de même signe. On en tire d'ailleurs, dans tous les cas, la \aleur de pv sous celte forme

pv - z »

8o iieUVIlKS DK CHARLES IIKRMITË.

et si l'on observe enfin, ce qui est très facile à établir, que la quan — tilé I — u^ entre comme facteur dans le polynôme

a -h bu^ ■+- CM** -h. . .-f- hu^h

avec un exposant (') dont la limite inférieure es!

on aura réuni tout ce qui est nécessaire pour pouvoir écrire apriot-r et sans calcul les équations réduites sous les formes suivantes, où D représente toujours le discriminant, savoir :

Le terme en ^* n'existe pas, parce qu'on obtient pour p, une valeur négative; les termes en ;;' et z^ disparaissent parce que les coefficients doivent respectivement contenir en facteur i — a*, (i — u^Y'i ce qui est en contradiction avec les valeurs p2 = o, p3==i.

ao n = 7.

On a à remarquer cette circonstance importante que le coefficient rx! est nul, et qui tient à ce que dans le développement des racines suivant les puissances de ^q = q, savoir :

^ = 4 v/^ s/À (i -^ ^^~l~' qî -4- n^ -f-. . .) ,

la quantité entre parenthrses ne contient pas la première ))uissance (le i). De là sans doule résulte qu'on a ainsi le type analytique le plus simple des équations du septième degré résoluble par les fonctions elliptiques.

En désignant comme précédemment par a, j3, . . ., des constantes

(') Cet oxposaiil est impair lorxiuc /* = 1 1 diins les coefficients des puissances ^)aires <ie z: mais, ce cas excepté, il est toujours pair.

THÉORIE DES ÉQUATIONS MODULAIHKS. 8l

numériques, on a celte équation

H- zTu^d — u^)i(^ 4- 3'm» -h Pi*") -f- z* ii»o(i — ,48 )3 (y -4- Y'tf» H- Y w'«) -+- z5a*(i— M* )Mô -h ô'm» -4- ô'a»« -h 8' w«* -f- ôa'»)

Ces constantes pourront être déterminées en développant les coefficients suivant les puissances de /y, et substituant pour z le développement correspondant suivant la puissance de y^. Le calcul assez long auquel on est conduit n'est nullement impraticable; je n'ai pas cru cependant devoir m'y arrêter, car le principal intérêt qu'on peut attacher au résultat concerne surtout l'étude des équations du onzième degré résolubles par les fonctions elliptiques. J'indique encore une fois, en terminant ici mes recherches, ces belles questions qui offriront une des plus importantes applications de la théorie fondée par Abel et Jacobi. Mais c'est surtout l'œuvre propre de l'immortel auteur des Fundamenta d'avoir reconnu ces rapports si remarquables des nouvelles transcendantes avec l'Algèbre et les propriétés des nombres. Entre tant de beaux résultats dus à son génie, et qui ont ouvert des voies fécondes à la Science de nos jours, je ne puis m'empécher de rappeler dans les Notices des premiers volumes du Journal de C relie les énoncés relatifs aux propriétés des équations entre le multiplicateur M et \v module k\ C'est là en effet que xM. Kronecker a trouvé le principe de la méthode si remarquable pour la résolution de l'équation du cinquième degré qui m'a été communiquée dans une Lettre publiée au tome XLVI, page 11 5o, des Comptes rendus, et l'on pourra voir dans un travail très important de M. Brioschi sur ce sujet (*) comment cette méthode résulte des relations singulières qu'a données Jacobi entre les racines de ces équations dans le cas du sixième

(') Sul metodo di Kronecker per la rizoluzione délie equazioni di qiiinlo grado, dans les Actes de r Institut Lombard, vol. I.

dcfçrt*. Les travaux de ces deux savants géomètres ont ainsi ouvert une voie plus facile pour arriver à la résolution de Téquation générale du cinquième degré que celle que j'avais sui\ic en prenant pour point de départ la réduction de Jerrard à la forme

et C'est en suivant cette nouvelle direction que j'espère plus lard pouvoir y revenir pour contribuer à en faire l'étude approfondie qu'elle demande.