L*ÉQUATION MODULAIRE DU HUITIÈME DEGRÉ

Hlictrait d'une Lettre adressée ù M. Brioschi (Annale di Mateniatica para ed applicatUy t. II, iSSg, p. jq).

« .... J'ai entrepris le calcul de la réduction de l'équation modulai ir*^ du huitième degré au septième, et voici le résultat définitif avi^ijuel je viens d'être amené. Soit fait, en introduisant la va- ^*î^ t>le <i> ( * ), w = y((o), les huit racines seront

9(710) et <p( 1,

■^ nombre entier m étant pris suivant le module 7. Or, en prenant, ^*^ premier lieu,

n^r-)-^ (-T-)J Ln-y-j -?(-— )J

^^ en second lieu,

x[o(-Y"V'^C''" '"•')] [o('"t'""')-?('"t"')]' (') Voir C. R., t. XLVI, p. 5io.

je trouve que z dépend de celle équation du septième degré, savoir :

a étant

Kl z' dépend de l'équalion toute semblable que l'on en déduil en ehangeant le signe du radical \/ — 7. Le fait analytique essentiel dans celte question n'est pas tant, ce me semble, dans l'absence d'un certain nombre de termes de cette équation; ce qui me frappe le plus, c'est qu'il se prescrite deux types d'équations du septième degré résolubles par les fonctions elliptiques, et je vais essayer de vous faire voir jusqu'à quel point on doit les considérer comme distincts. Pour cela, je vais définir avec précision quelles sont les fonctions non syméliif/urs des racines z ou des racines 5' qui s'expriment rationnellement par les coefficients, et vous reconnaîtrez que ces fonctions, analogues sans doute, ne contiennent pas les mêmes perunitations des racines. V cet efl'et, et suivant l'usage, je représente par ^.r, l'indice ./• étant un nombre entier pris suivant le module -, les diverses racines z; pour abréger, je pose

encore

0(.r) —'2.7- rs ( motl 7).

)) Cela posé, les fonctions non symétriques des racines qui s'expriment rationncllcuient par les coefficients sont celles (pii demeurent in\ariables par les substitutions

(i étant un résidu (piadiatique cle -, h et c deux entiers (pielconques. Les formules (A) représentent ainsi

substitutions dillerentes, formant, suivant l'expression de M. Cauchy, un système de substitutions conjuguées. Or, en passant à l'expression en z\ il faul remplacer la fonction 9(-r) par celle-ci

O'(.r)^ - 1T' — .r^ (niodj),

KQUATION MODULAIRK DU HUITIEMK 1)KGU1>. H*»

qui conduit à un système de i68 suhstitulioiis conjuguées, à voir :

) Lj^y /*ax-i-ln ^aO'ur «-/»+<•"

il s'ensuit qu'il existe non seulement un type, comme l'avait dil . Kronecker (* ), mais deux types de fondions de sept lettres ssédant trente valeurs distinctes.

» Rien de plus facile d'ailleurs à démontrer (jue (A) et (V) nt des systèmes de substitutions conjuguées; cela résulte des ngruences suivantes, où a est toujours supposé résidu cjuadra- |ue de 7, savoir :

0 {ax) ^a*0 {x), 0 \m -i- 0 ix)] ^7.m'*0 (— -h x ^ r- const.,

fy(ax) = a''b'{x), e'[m-HO'(^)] — 9,//i*oY~ -h x ) -¥■ const.

» Dans ces congruences, les fonctions 0(a?), ^'(û^) cntrenL tnme vous le voyez, absolument de la même manière. La théorie Téquation modulaire du douzième degré conduit à des résultais alogues, que j'espère pouvoir vous communiquer dans une autre casion.

» En m'occupant de cette recherche, j\ii du encore employer te expression analytique des substitutions qui m'a été fort utile, lis dont je ne sais si l'on pourra tirer parti en dehors de ces quesns.

» ()uoi qu'il en soit, voici quelques remarques à ce sujet. Dan-^ cas de cinq lettres, les 120 substitutions sont ainsi représentties,

valeur a ^ o étant exceptée et les indices étant pris suivant le

)dule 5.

» Pour sept lettres les 5o4o substitutions seront, d'une manière

alogue,

' ) Monatberichte der Akademie zu Berlin; April i838. La fonclion de M. Kr.»- :lier reste invariable par les substitutions du système (A*).

8G OEUVRES Di: CHARLES HKRUITE.

en attribuant à la fonction 0 ces diverses formes, savoir :

0(ar) = 3a:d=arS

0( X ) E= T» -h ax^-\- ^a^x (a quelconque),

^(x)f=x^-i-ax^zhx*-^3a^x (a non résidu de 7).

» Quant à ce qui se rapporte à un nombre premier de lell j'ai bien quelques types généraux de formules de substituti< mais d'autres questions m'empêchent de suivre ces recherches

n Paris, 17 décembre i858. »