SUR L'INTERPOLATION

Oowwm,j^t€S rendus de l'Académie des Sciences, t. XLVIIJ, 1859 (I;, p. 65t.

ï— ai question dont je vais m'occuper dans cette INole est celle qui

a pour objet de représenter approximativement par un polynôme

d'i:»«B. degré donné m une fonction F(a7), dont on connaît les valeurs

pouir x=zXfi^ :ri, 2:2,..., :r„, /i étant supérieur ou au moins égalà/?i,

ei3. *^« donnant la condition que la somme des carrés des différences

ei:i.tK*c ce polynôme et F(j:), pour x = Xo^ X|, . . ., .r„, multipliées

cHsàc^une par des nombres donnés, soit un minimum. M. Tchebichef

a 1^ premier résolu cette question importante dans un excellent

MéMxioire sur les fractions continues, présenté en i855 à l'Académie

de ^iaint-Pétersbourg ( * ), et c'est de son analyse même que j'ai tiré

iin^ nouvelle méthode qui, sous une forme plus générale, donne

*^s ï*ésultats de l'auteur, indépendamment des fractions continues,

^^ Cîn les rattachant immédiatement à la formule d'interpolation

^^ Lagrange.

Soit

^ette formule est, comme on sait,

/(^) Uù . /(^) Ul ^ ^ f(^)

T^xo J'{xo) ' x — xxf{xx) *** x — Xn J"{(x;n) et si l'on y ajoute le produit de/(x) par un polynôme arbitraire,

(') Uoe tradoction en français de ce Mémoire par M. Bienaymé vient d'être pobliée dans le Journal de Liouville, i* série, t. III (1869 ), p. 289.

88 OEUVRES DK CHARLES IIERMITE.

on aura l'expression générale de toute fonction* entière de de«;»*^ supérieur à /i, et devenant encore //q? W|, . . ., n,t pour

X =■ Xq^ Xi^ •••» ^/l*

\Jais en désignant par 6(x) un polynôme indéterminé et faisant

/ix)^(x)

J'^""^- {X-Xi)f\Xi)^{Xi)

<:cttc expression plus générale de la formule de Lagrange peut en-

corc être présentée ainsi :

ll(^) =/o(ar)<io-H/i<J^)W|-H...-^//i(-rjM„.

(jcla posé, voici comment s'en tirent les formules nouvelles qui sc^ rapportent à Tinterpolation par la méthode des moindres carrés. Faisons dans n(x) la substitution linéaire

Ml, — a^^VQ -f- 6oi'i -}-... -H /oi'/M

\ Un = ani'o -T- 6,, i'i H- . . . -h /„ »'/,,

déterminée de façon que Ton ait

i/î-i/;^... r-//.î = ii -^rî-^...-4-r« («). Kn posant

/ <l>oi^) = a^f^(x)--aift{x)—,..-^a„fn(x), ^ \ ^i(x) — bf^/o{X)-h Ùi/i{X\ -^...-^ bn/H(jr),

il viendra

ol Ton aura, rommt^ ronséquenre immédiate. Tégalilé suivante :

Or les fonctions 4>^^.r^ qui naissent ainsi de la formule de Lagrange possèdent, en \orlu de cette égalité, les pi^opriétés fondamentales

\ ' > M, i-»,^le> 4 donne IV\prt*>sion Ji^uerale de t'^'S sutislilulmos dans un Mém^Miv Si*r ief iirirrmimsinti ^m*«*/«<^» iMilUio dans lo Jourmai de Creiie.

SUR l'interpolation. 8<)

suivaiiies :

^^ ^le ces propriétés résulte, comme Fa remarqué M. 'JVIiehirlief, ^^ solution immédiate de la question que nous avons en vue.

Observons, en ellel, que les fonctions ^(x) contiennent loiiles ^11 fadeur ^( Jr), de soiie qu'en faisant

on a un système de /i + 1 polynômes

du /i'*^"* degré; or, après avoir choisi /?i -h i de ces polynômes, par exemple

si Ton demande de déterminer les coefficients \, B, . . ., H, de telle sorte que la somme des carrés des valeurs de la diflerence

V(x) — Aoo(iF) — B©,(a:)— ... - Hç,„(a:), pour

X = Xoy Xi^ .... Xny

multipliées par des nombres donnés, soit un minimum, on opérera comme il suit. Disposons de 6(^), de manière que les j)oids

des erreurs soient

l'expression qu'il faut rendre un minimum sera

y^[F(xi)—\oo{Xf) — Boi{Xi)-..,-Uo,n(x,)Yfi^(xi),

ou bien

90 CELVfteS DE CBAftLCS BBftlilTE.

Or en égalant à zéro les dérivées prises par rapport à A, B H ^

on trouve qu'en vertu des équations ( 3 » une seule inconnue subsiste dans chacune des équations ainsi formées, ce qui donne im — média tement les valeurs

A = V*^ (x/>F<jr/>%(jr/»,

H = N 4»^ , jT^ I F ( Xi » 0 ( Xi K

et, en posant

tAx) = Ko^(x\ — Bç,(>)— ...— H^;„(x),

on en conclut immédiatement qu'on a

2 TMXi) «2, J-, ) = 2 ¥^iXi)^i,Xi).

Mais, parmi les diverses expressions auxquelles nous par>enons ainsi, et qui dépendant des éléments arbitraires de la substît»tiou ( I ) sont en général du n^^^^ degré, il reste à découvrir celles qui, j)our wne détermination convenable de cette substitution, seront seulement du m^^^^ degi*é, de manière à résoudre la question proposée par l'emploi d'un polynôme du degré le plus petit possible. Soit, à cet effet.

6tx>

= Si(xu

les équations (a) donneront, par la suppression du facteur 0(x), cotninun aux deux membres,

Oq{x) = ao£o(X)-i- a,ii(X)-H. . .-r- '.tn^n(^)y

^{X)= /o SQ{X)-r- /,i,(^)-H...-r- In^ni^C),

SUR K INTKRPOLATION.

et l'on \a voir qu'il est possible de réduire <^o{^) » lï"^ constante^

5, (jtr) au premier degré, et en général Oi(a') au degré i. Effective-

VI -a • • * /i(n-+-i) , iiien.1., on aura, pour qu il en soit ainsi, a poser -—^ équations

entre les coefficients «o? «i? • • •» «/o ^o? ^i» • • •? ^w? •• •? ce qui est préoîsénienl le nombre des quantités arbitraires que comporte <l'a|>rès sa nature la substitution (i). Or de là résultera un système spécrial

tel c|ue la formule

coin posée avec ces fonctions, sera précisément du degré m. Cepen- Jaixt il serait difficile par cette voie de parvenir à exprimer explicilonient les nouvelles fonctions par les quantités Xoy ^i, . . v ^ft el O ix). C'est au moyen de Téquation fondamentale

("Il Cais.mt usage des propriétés des formes quadratiques, qu'on y ari^i \e et qu'on établit le théorème suivant :

-^^oiV Ifu lunariant de la forme

H^-^ ^ sera un polynôme du m^^^^ degré en x^ dont V expression (ir^ ^lytù/ue est bien connue; si l'on désigne paro„i le coefficient d<^ j^m flans ce polynôme, on aura

1^0 ur

Four //? = I, où il n^y a pas à proprement parler d'invariant, on ^■^^vra faire

^^ pour m = o [)rendre

\yK (Kuvni:s de chaules hermitb.

\jr signe» du l'adieal carré (|ue présentent ces formules reste ; traire; car dans la fonction

tAx) — \oo(x)-^ Bo,('j?)-i-...-|-Hcp,;,(ar)-f-...,

le coefficient H en général ayant pour valeur

^ O,„{T,)V(Xi)0*(Xi), i-0

,\c remarquerai enfin, en terminant, que la suite des quan I, A|, A-j, ..., A,,^| possède à l'égard de l'équation /"(x) = < propriétés des fonctions de M. Sturm, pourvu que le polyn iirhilraire 0(x) ait ses coefficients réels. C'est ce qui résulte c l'orme (piadratique dont elles ont été déduites.

SUR lA RÉDUCTION