FOBMES CUBIQUES A DEUX INDÉTERMINÉES

Comptes rendusy t. XLVIIÏ, 1809 (Ij, p. ']5i.

l-a théorie des formes cubiques à deux indéterminées a été dans ces derniers temps le sujet de plusieurs Mémoires importants dus î» I^I- Arndt et publiés dans les Arc/iiics de Grunert et dans le J^^ ri F- fiai (le Crelle (année i85^). L'auteur, en ajoutant beaucou|) aux: premières découvertes d'Eisenstein, a donné dans un de ces »tt5 moires une table de formes réduites avec leurs covariants (|ua- »lï*Hlîqnes pour tous les déterminants négatifs jusqu'à 2000, et il ^^rait bien à désirer que les formes à déterminants positifs devinssent l'objet d'un pareil travail. Mais elles semblent présenter '»«*ris leur nature quelque chose de plus complexe, de sorte que la iiiéiliode de réduction dont j'ai donné le principe {Journal de » t'f*Hc, t. XLI, p. 21 5) laisse subsister de grandes difficultés pour *>»3icTiir Icwi conditions caractéristiques des formes réduites. Celle ^U^esiion m'ayant paru mériter de nouveaux eflorts, je me suis altaclié à en rechercher la solution complète, et- j'ai l'honneur <lc l^résenter à T Vcadémie, dans celte Note, les résultats que j'ai ob- ^^*nn5ja\ec l'indication de la méthode que j'ai sui\ic.

Je rap[)<îllerai d'aljord qu'en posant

/ ~ ax^ -4- 3 bx^y -h 3 cxy^ -^ dy"^ =l a{x — 7.y )(x — fij' ) ( .r — •;.>' ) jc définis cette forme comme réduite si, toutes les racines étant

94 œUVIlKS DE CHARLKS HERMITK.

réelles, le covarianl

? = (?)*[(« -P)'(^-"Tr)'-+-(«-ï)'(^-P>^)=-(p-V)*(^-V)-]

et dans le cas où a est seule racine réelle, P et y étant imaginaires conjuguées, ce second covariant

^ = (f)V«(«-?)(«-Y)(^-?r)<'^-ïr)~(?-Y)'(^-«^)M

sont des formes réduites dans le sens propre aux formes quadratiques à déterminant négatif. La grande différence de ces deux cas tient à ce que o s'exprime rationnellement par les coefficients de y, tandis que 4, fonction symétrique en ^ et y seulement, est essentiellement irrationnelle. Cependant ces propositions, faciles à établir, leur sont communes :

I" Deux formes réduites distinctes représentent, en général, deux classes différentes et, si elles sont équivalentes, elles se déduisent Tune de l'autre par les substitutions qui changent en ellesmêmes les formes

2** Soient D = B- — \C le déterminant ou invariant de f et A sa valeur absolue, les coefficients de la forme réduite vérifient les conditions

ad<(^ly\/^, *«<(!) Va.

Mais, à l'égard de ces limitations, une étude plus approfondie de la théorie de la réduction fait voir qu'il j a lieu de distinguer les deux cas, et pour D <; o, M. Arndt a déjà reconnu qu'elles devaient être remplacées par celles-ci :

„.<^,/ii'., .,<^/l|i.

Je vais, avant d'aborder des questions plus difficiles, m'arréter un instant sur ce point.

FORMES CIJ»XQUK9 A DEUX INDBTER VINEKS. 9^

Les relations

A = 2(6» — rtc), B = bc — ad, C = ?Jc^ — ùd) <.lonnent

C6« — 2B6c-+- At^ = 1 AC,

C»a» + 2(3ABC — 4B')arfH-A»rf*= - (AC— îB«)«,

€l, en appliquant les règles connues, on trouve aisément, pour le maximum de èc, l'expression

AB-h B=»-}-rA-T-BS)\/A-f- B»

et, pour le maximum de arf, celle-ci :

— 3AB-i-B3H-(A-»- B2)v/A-f- B2

en faisant