A =AC— B

Or ces expressions, fonctions de B seulement, ont elles-mt^mes des maxima qu'on détermine en observant que, d'après la propriété caractéristique des formes réduites, B- ne peut surpasser ^A, et c'est précisément à cette valeur limite que correspond le maximum de bcj et il en sera de même pour ad dont la dérivée, par rapport à B, admet pour racine B- = J A. De là se tirent les conditions

arf<^.i^A, bc<^l^.

Pour la limite de bc, le coefficient numérique est, comme l'on voit, moindre que celui de M. Arndt {Archives de Grunert, année i8.)8, p. 337). De la même manière on trouverait encore

<jO OKUVHBS DE CHARLES IIERMITE.

La mélliode précédente ne s'applique pas immédiatement aux formes cubiques de déterminant positif, car il serait difficile de former le.s relations entre a et d d'une part, ^ et c de l'autre, et les coefficients de la forme réduite (P, Q, R). C'est cependant au fond le même principe ((ue je vais encore emplover. En premier liru, je remarque qu'on a les relations suivantes :

AK— ?BQ--<:P = o,

de sorte (pi'à l'égard des coefficients A, B, C, il sera possible d'opérer exactement comme ci-dessus. Ainsi on form(?ra entre A cl G l'équalion

R2 AS -I- 7(FR — 2Q2) AC -t- Pm:2 = 4Qï( |»R QJ ),

(|ui donnera pour le maximum de AC la valeur

PU Qî = D;

el d'une manière analogue s'obtiendra, pour le maximum de B-, la quantité PR. et l'on parviendra aux limitations

AG < D, Bs < i D.

Pour arri\cr maintenant aux coefticienls de la forme cul)i(|ue^ jr me fonderai sur l'égalité

d'où je tirerai, en égalant dans les deux membres les coefficients de .r*i'^,

%D(ad-\-c^bc) = — ÎB»— iJQBî-r-:îDB~i3DO-^ ioQ»,

r\ ensuite, eu emplovant la relation bc — ad = B,

.j i)ad = — B^ — iQBî — 3 OB -h i OQ -i- 4Q', 41) ^c =:: — B3— iQB« -f- 1)B -3I)Q -4Q'.