FORMES CUBIQUES A DEUX INDETERMINEES

On voit maîntenanl qu*on peut facilement obtenir les maxima

de ad et bc en fonction de P, Q, R; le maximum de ad est donné

par la valeur limite

B« = PR = D -f- Q»,

Jes racines de la dérivée étant imaginaires à cause de la relation c'est l'expression

Q»-t-(4D-4-Q«)\/D-i-Q^ i^our bc il existe deux maxima qui correspondent à

B = — Q + 4/ i D -t- Q« et B = y/VK = v/D -^ Q»,

voir :

aD ^' 4D

Maintenant il ne reste plus qu'à chercher de nouveau les maxima :ii. € ces expressions, qui seront évidemment donnés en remplaçant Q [i>ar sa limite supérieure y/J D. En choisissant pour bc le maximum t'K^aiimorum, on parvient aux limitations

J ^y joindrai

ad-\--ibc<i/'~ D, ac» — 6/63< — ^ D,

y y-i ' Gv/3

<lont la dernière s'obtient par celte équation

4 v/D ( acî — é/6» ) = /D — B2 -T- Q* ( D — B* -4- 4 Q* ).

J'arrive maintenant au point le plus important dans la théorie de la réduction, à la recherche des conditions caractéristiques pour les formes réduites. Ces conditions P zh 2Q > o, R — P > o, se II. - II. 7

OH OEUVRES DE CUARLES HEAMITE.

présentent en effet sous forme irrationnelle par rapport aux coefficients «, 6, c, rf, et il s'agit d'en déduire des relations absolument équivalentes, mais rationnelles. J'observe à cet effet que l'équation du troisième degré dont dépend la forme A, savoir :

4^3 - 3oîl}. — o3 — D/« = o,

a, comme la forme cubique f{x^y^^ une racine réelle et deux Imaginaires conjuguées. Or, en nommant P', Q', R' et P^, Q"', R'' les déterminants imaginaires conjugués de P, Q, R et posant e = ±1 , on pourra remplacer les inégalités proposées par celles-ci :

et alors les premiers membres étant des fonctions symétriques des racines de la forme /(;r,j^) pourront s'exprimer rationnellement en a, 6, c, d. Le calcul auquel on est ainsi conduit s'effectue aisément si l'on observe que i — o est un carré, et qu'en faisant i( — o = y-, les trois valeurs de y sont données par l'équation

De la sorte on parvient au résultat suivant :

Les conditions nécessaires et suffisantes pour qu^une Jorme

cubique

f{x^y) = ax^ H- 3 bx^y -h 3 cxy^ -H dy^

de déterminant positif D soit réduite sont

On peul, en introduisant le covariant cubique

^^l(dfdo^__dld^\^ G \dx dy dy dxj '

les présenter sous cette autre forme

rORMKS CUBIQUES A DEUX INDÉTERMINÉES. 99

La question de la réduction des formes cubiques de déterminant positif est ainsi complètement résolue, et c'est l'objet que j'avais principalement en vue dans cette Note. Je la terminerai en indiquant un point de vue sous lequel on peut la rapprocher de la réduction des formes de déterminant négatif, où l'on se sert du covariant quadratique (p = (Â, B, C). A cet effet, j'observe que le second covariant ^ = (P, Q, R) satisfaisant à l'équation

4^3 3oî^ - o» — D/î = o, un en tire

Or, en posant on reconnaît aisément que celte expression est de la forme

m et n ayant des valeurs essentiellement positives, de sorte que '^ étant supposée réduite, o se trouve nécessairement dans le groupe de formes également nommées réduites, mais sous le point de vue propre aux déterminants positifs. Et c'est le premier exemple d'une détermination spéciale pour l'une des formes de ce groupe, qui, sauf le cas des classes principales el ambiguës, se présentent toujours comme réunies, sans qu'il y ait Heu de faire entre elles aucune distinction. On peut donc dire, en dernière analyse, que toute forme cubique de déterminant positif ou négatif est définie comme réduite en même temps que le covariant quadratique