II. — De la périodicité dans les fonctions circulaires

La notion géométrique de ces fonctions, leur définition dans le cercle, met en évidence immédiatement tout ce qui concerne la périodicité, tandis qu'au point de vue de l'Analyse pure, en prenant, par exemple, pour définition les développements

sina: = x —

cosa: = I —

ce caractère si important semble beaucoup plus caché. 11 n'en est pas autrement à l'égard de l'exponentielle considérée comme

l3'2 OEUVRES DE CHARLES HBRMITB.

la limite d'un polynôme entier (i H j , ou comme la série

I H — H 1 5 -h Mais les fonctions circulaires sont

susceptibles d'autres expressions où le caractère périodique apparaît tout aussi immédiatement qu'en Géométrie, et qu'il est d'autant plus intéressant d'étudier que d'elles-mêmes, par une généralisation facile, elles conduisent aux fonctions plus élevées qui possèdent deux périodes différentes. Pour premier exemple, je prendrai le développement en produit infini

qu\)n peut considérer comme la limite, pour m infini, du polynôme

Or on voit tout de suite qu'on a

n^ qui donne, en supposant /n infini, ©(x + i)= — o(x)^ d'où Ton conclut sin(Tca7 -f- tc) = — sinrc x, et en remplaçant tzx par x, ,iil^.|. 4- 7ç) = — sinj7, et, par suite, sin (x -h 27:) = sinx.

Nt»UH serons conduit à un second exemple, en prenant la dériviW' logarithmique des deux membres de l'équation (i), savoir

7rc(>l7ra7 = h

or -h I X -\- 'l X ->r'h

\\\\ rlniii^canl j: en uF -h- 1, le second membre devient

THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. l33

et, par suite, se reproduit, car les fractions partielles n'ont fait €jue changer de place en s'avançant chacune d'un rang. C'est ici <{u'on voit s'offrir par une généralisation facile la manière suivante <le représenter une fonction ayant pour période une quantité quelconque, à savoir :

o(x-h a)o{x -^ ia)(^(x-^ 3a). . . ; çp(Jr)-^-(p(J• — a) -h ^(x — 2a)-+-ç(a: — 3a)-+-... -+-ç(a^-ha)-+-o(a?-^2a)-4-ç(ic-f-3a)-h

La condition de convergence du produit ou de la série infinie est seule à remplir, et, si l'on peut y satisfaire en choisissant pour o{x) une fonction qui soit elle-même périodique, on se trouve mené à l'expression d'une fonction à double période. Tel serait, par exemple, le développeinenl

sinor

sin(;r —

•la)

sïnix —

sin(ir -h

sin(jrH-

xa)

sin(a?H-

qui s'offVe précisément dans la théorie des fonctions elliptiques, et qu'on prouvera facilement être convergent lorsque la quantité a sera imaginaire. Si l'on supposait a réel, les termes successifs delà série ne tendant pas vers zéro, la divergence serait manifeste, ce qui s'accorde bien avec ce qui a été dit précédemment de l'impossibilité d'une fonction à deux périodes réelles.

Mais on peut ne pas employer l'intermédiaire d'une fonction déjà périodique, et parvenir à l'expression d'une série doublement périodique par ce développement doublement infini

^ © ( X -h ma -h nb ),

a et 6 désignant les périodes, m et n des nombres entiers variables auxquels on attribuera toutes les valeurs de — 30 à -hoo. Et de même, au point de vue des produits infinis, une analogie immédiate conduit à envisager des expressions de la forme

\ ma -^ no /

l34 OEUVRES DE CHAULES HEIIIIITE.

m et n recevant encore toutes les valeurs entières, en n'exceptant que la combinaison /w = o, /i = o. Mais l'étude approfondie de ces expressions a révélé une circonstance importante autant que singulière. M. Cajley, dans un Mémoire sur les fonctions doublement périodiques publié dans le Journal de M, Lious^illey t. X, a fait voir que leur valeur dépendait essentiellement de la loi suivant laquelle on fait croître simultanément jusqu'à l'infini les nombres m et n. Par exemple, on obtient une expression analytique parfaitement définie et déterminée, en admettant la condition que m el n soient les coordonnées d'un point contenu dans l'intérieur d'un cercle x'^ -^y'^ = R*-* dont on augmente indéfiniment lé rayon. Mais en remplaçant le cercle par une autre courbe, ce sera une autre fonction qui s'oflVira à la limite, et au lieu de réaliser de la sorte des fonctions doublement périodiques, qui se reproduisent en changeant x en x h- « et x -h ^, on parvient à des fonctions qui se reproduisent multipliées |»ar un facteur exponentiel. Ces fonctions présentent en effet Télémenl analytique fondamental sur lequel repose, comme nous le verrons, toute la théorie des fonctions elliptiques. Mais on remarquera que la prévision fondée sur l'analogie des expressions

I I \ ma ->t- no j

ne se trouve pas justifiée, et que les secondes ne sont pas précisément les fonctions à deux périodes, bien qu'elles en fournissent les éléments essentiels. Ne pouvant exposer dans toute leur étendue ces considérations délicates et intéressantes, nous allons toutefois en donner l'idée en nous bornant aux produits simplement infinis qui conduisent aux fondions circulaires.

ni. — Sur t'e.r pression 1 1 -^^ ( i H )•

Le fait principal sur lequel nous voulons appeler l'attention consiste en ce (|ue ce produit n'est périodique qu'autant qu'on

THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. l35

l'envisage comme la limite déjà considérée, savoir :

(-T)(-f)-(-^> pour m infiniment grand. Faisons, en effet,

et concevons qu'on augmente indéfiniment m et /i en posant la condition

/li = UIA,

(o désignant une constante désignée à l'avance; nous allons montrer que pour n infini la limite de ^{x) dépend de w, et n'est périodique qu'en supposant w = i .

Soit, pour abréger,

l'équation (i) donne, en prenant la dérivée logarithmique des deux membres,

(p(â7) Â^x — n Â^x-^m Or on a identiquement

dmàx — n émà^.x — n /i / ^à Tl ^ ïix — /i* À^n

^ .r -j- m "" ^ \ jr H- /n m] ^ m ~~ émà mx-hni^ Jkaà m ' de sorte qu'en faisant encore

l36 OEUVRES DE CHAULES HERMITE.

on peut écrire

^y r) Jmànx — /i' émà mx -\- m^ .'

et il s'agit irobtenir la limite du second membre lorsque m et /i

croissent iusqu*à Finfini. Or les séries 7 ;> > z

sont l'une et Tautre convergentes, ont séparément des sommes finies et donnent lieu par conséquent à des limites parfaitement déterminées, où la condition /w = w/i ne peut jouer un rôle. Mais il n'en est plus de même à Fégard des séries ^l^' ^'"' dont les sommes croissent indéfiniment avec m et /i, d'où résulte que À se présente comme la différence indéterminée de deux infinis, et il s'agit d'en obtenir la valeur.

Nous représenterons à cet effet, par une intégrale définie, la

série - i- . . . H en partant de la relation

-a / x'^-^ dx= -»

On aura effectivement

Il » r* j . r* j i - J"*"

- -^ ... = / </x(i — jr -»-... -r-j""->) = / dx ,

la m J^ - 1 i — X

et il en résulte que la difiérence des deux séries semblables ^ — » ^- s'exprime par

et il s'agit de trou>er ce que donne cette intégrale en posant iii = w/i. et faisant n infiniment grand. On v parvient aisément par cette transformation très simple

On a, en effet

THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. l3y

et, par conséquent, pour /i infini, l'intégrale bien connue

az = / oi.

La quantité désignée par )., ayant ainsi pour valeur /w, ne s'évanouit qu'en supposant to = i, et, dans ce cas, l'équation (2) devient

et il est visible qu'on peut remplacer les deux séries infinies par cette seule série convergente

^'ix) 1 -IX iX 'XX

o(x) X X* — I a-' — 4 " ar* — m* '

dont la somme est 7rcol7w.r. Mais, en général, et en laissant entre m et n le rapport arbitraire w, on aura

-i— = r cotrar -+- /to,

d'où

I ax -*-T — - = i sin Tra: h- a?/ w h- const.,

et, par suite,

tf(x) = Ge^'<^ sinTra-,

C étant une constante.

Ce résultat met en évidence le genre particulier d'indétermination que comporte l'expression I 1 ^( 1 H ^ j et pourra servir à

faire comprendre le fait analogue relatif au produit doublement

infini jT^(> H r- ) dont la valeur générale s'obtient en

multipliant par une exponentielle de la forme ^^a^^'+P-^H-y Q^e valeur particulière, déterminée en définissant par une courbe, comme nous l'avons dit plus haut, la loi suivant laquelle on associe les nombres entiers m et /i, en les faisant croître indéfiniment. Mais, sous un point de vue plus général, on peut se demander s'il existe des fonctions uniformes et entières qui aient deux périodes*

l38 OEUVRES DK CHAULES HEimiTB.

Tel est Tobjet de la proposition suivante due à M. Liouville, c*^ dont rillustre géomètre a fait la base d'une théorie complète d<es fonctions doublement périodiques (*).