IV. — Proposition de M. Liouville

Elle consiste en ce que toule fonction uniforme f(j?), posséd; deux périodes a et 6, se réduit nécessairement à une constai si elle ne devient infinie pour aucune valeur de la variable. Pj tons en eflfet de Texpression suivante, de toute fonction entièi uniforme,* avant pour période rt, savoir :

- «t La condition {{x H- é'i = f(x t donnera l'égalité

éKjr

et, si Ton multiplie les deux membres par e * , on trouve, et intép^ant entre les limites léro et <i.

On en conclut que \„ est nuL car en supposant imaginaire, ainsi qii on le doit, le rupjH^rt des deux pt^ricnJes -» on ne peut avoir

f* * = I que j>i>ur U mmiIo \jiileur m = o. V» devant être supjM^so nul jHMir toute x^leur de m. >^uf m = o, on \oit que f (x) se ftsluit À U constante \^.

iVtte pr»jH>sîtion, jiu>si simple qu importante, nous fait voir que les fonctions ;i deux jH^ritvlt^ son^nl nécessairement des Iransceodjiute< tract ionajiinrs: elle rend ci>m}>le ti pnori des singula-

THÉOIIIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. l3g

rites que présente la nature des produits doublement infinis

Al \ ma-hnb/^

et montre Timpossibilité de donner pour origine aux fonctions à deux périodes l'expression plus générale

en prenant pour '^(x) une fonction périodique entière. Mais ces expressions, si elles ne peuvent conduire aux fonctions à double période, nous amènent à celles qui leur servent de numérateur et de dénominateur, et c'est à ce moment qu'à proprement parler nous entrons dans l'étude des fonctions elliptiques.

Définition des fonctions 6(j*), H(:r), leur expression en produits

et en séries.

Rien n'est plus important ni plus digne d'intérêt que l'élude attentive des procédés par lesquels, en partant des notions antérieurement acquises, on parvient à la connaissance d'une fonction nouvelle qui devient l'origine d'un nouvel ordre de notions analytiques, et un traité complet sur le sujet qui nous occupe ne devrait omettre aucune des méthodes découvertes et suivies à l'égard des fonctions S(x) et H(x). Mais ici nous n'en indiquerons que deux, la première se liant naturellement à ce qui précède, et la seconde devant nous permettre de donner un aperçu sur les fonctions analogues, mais à plusieurs variables et d'un ordre plus élevé, qu'on nomme fondions abéliennes ou ultra-elliptiques.