I. — Première méthode
Nous adopterons désormais les notations employées par Jacobi dans l'immortel Ouvrage intitulé : Fundamenta nova theoriœ functionum ellipticarum, et nous représenterons les quantités qui serviront de périodes par K et / K', / désignant ^ — i . Cela
l4o OEUVRKS DE CHARLIfS EBRUITE.
posé, en désignant par ^(x) une fonction entière ayant pou: riode 2K, nous considérerons, au lieu des expressions
que nous savons ne pouvoir servir à la définition d'une fon entièrement déterminée, la suivante :
«i>(ar) = cp(a7-4- jK')<p(a?-f-3/K')<p(j:-h 5iK')...
<p(— j:--^«K')<p(— xH-3iK')<p( — x-h 5iK')
On aura d'abord
<P{x -h iK) = *l>(ic),
et Ton trouvera ensuite immédiatement
©C— X — iK') ^ . ' ' (f(x -h iK )
On n'a donc pas ainsi une fonction doublement périodique, ce nouveau type d'expressions conduit, comme nous allons v des fonctions parfaitement définies et déterminées.
Soit, par exemple, la fonction entière ayant 2 K pour péric
ittJf
<f(x) = I — e K , ce qui donnera
tD( — x—iK') i^u-H/K')
«p(a7 -H ÎK')
En posant
g = e *^, on trouvera
o [ X -h ( A m -h I ) 1 K' ] cp [ — a? H- ( '2 m H- I ) 1 K' ]
= I — 9.y2'«-^> cos ^ -+- çr*"»-»-»,
et, par suite,
^{x) = (1 — -lycos ^j^-»- 9*]
X ( 1 — iq^ cos -=T- -+- ^« j f I — a^* cos — -h y»» j . . . Or il suffit que le module de q soit inférieur à l'unité pou
THÉOBIE DBS PONCTIONS ELLIPTIQUES. l4l
ce produit représente une fonction complètement définie et déterminée, car la dérivée logarithmique donne cette série
y 1 — 2^ ces ^- y* I — 2y'cos-^-h^* i — 29* ces -=^ -4-^*0 /
qui, dans ce cas, est toujours convergente, quelle que soit la valeur réelle ou imaginaire de la variable x.
En introduisant en facteur une constante A, nous poserons avec
Jacobi
e(a:) = A*(:r), ou bien
0 I — - I = A ( I — nq ces ix -^ q^)
X (1 — 2^' COSIX -\- q^){\ — 2^» ces 237 -4- ^10). . ..
C'est la première des fonctions que nous voulions définir; elle vérifie les relations
qui servent de base à la théorie.
En second lieu, soit
ï{{x) = — i^(x-^iK')e^^'^'''^'^\
on trouve immédiatement les relations toutes semblables aux précédentes
et, pour l'expression développée, la formule
H ( j = A.2 v^^ sinjr(i — iq^ cosix -4- ^*)
X (1— 2^* ces 2 a? H- ^8)(i — iq^ COS2J7-+- yi«).,..
Cest la seconde de nos fonctions fondamentales; en la divisant par la première, on obtient une fonction à double période, car, à
■ 42 OEUVRES DE CHAULES HBRIIITE.
uausc UC9 rci«iiiuu9
^ I ; Cl \^Ji fj ix: i|uuvit
lions
H(arH-aK)
e(x-i--iK)
H(ar-+-4K)
e(Jr-^ilK'; ""
Faisons enfin
H,(ar)=.H(a:-hK),
c'est-à-dire
d| I j = A(n- a^ cos'2J7 -+- ^')
X (n- a^* cosix -4- y*)(i -f- a^'cûsiar-f- y'*).. .,
(2 Kar"^ 4 — ) = Ki^q cosa7(i -h a^»cos2a?H- y*)
X (i -f- 2^* co*aar -+-^*)(i -Kay* cossâ? -»- y **).... Ces deux nouvelles fonctions conduisent aux relations
y e,(ar-h2K) = e,(x),
' e,(a:H-2iK')= e,(jr)<î~"S''
<3) ; -i^ix^ir,
^ H,(ar-j-aK) = — H^ix),
— p-U--KiK'»
de sorte que les quotients -^ — > -^7 — ^ seront encore des fonctions
à double période qui se lient chacune à la précédente à peu près comme le sinus au cosinus, et complètent le système des trois nouvelles transcendantes dont l'étude constitue la théorie des fonctions elliptiques. Nous allons les retrouver sous une forme analytique différente, qui les rattache aux transcendantes ultraelliptiques à plusieurs variables et à périodicité multiple. Mais celte première méthode a Favantage de donner immédiatement les racines en nombre infini des équations transcendantes qu'on ob-
tient en égalant à zéro chacune de ces fonctions, savoir :
0 {x) = Oy X = 2mK -^(}.m'-\- i) iK\
H ( a: ) = o, X = '1 rn K -i- im' iK\
e, (37) = o, X = i'im -Hi) K-h(-im'-h \)iK\
H|(ar) = o, a? = (-i/n -H I) K -h •i/n't'K',
m et m' désignant des nombres entiers quelconques. Aux diverses relations fondamentales que nous venons de donner, nous joindrons encore celles-ci, dont il est souvent fait usage,
[ e {x^iK') = iH(x)e'''^^^'"^'^\ I H (X -^ iK') = ie {x)e~^^^''^'^\
' H,(arH-eK')= e, (a-)e"^'''""^''"\
Enfm nous remarquerons que ces fonctions ne changent point en y remplaçant x par \x, Ket K' par âK et XK', de sorte qu'on peut particulariser Fune des périodes, prendre par exemple K = i , car, de ce cas spécial, on reviendra immédiatement à nos expressions générales. Mais c'est une parlicularisation différente de celle-là que nous aurons à mettre en usage, el dont nous parlerons lorsqu'elle viendra naturellement s'offrir.
