Deuxième méthode
La proposition de M. Liouville consistant en ce qu'une fonction
uniforme entière ^ A^ e " , qui admet la période a, ne peut,
sans se réduire à une constante, admettre une autre période ^, conduit naturellement à rechercher l'expression analytique des fonctions à double période sous la forme fractionnaire
l44 (KUVRES DE CHARLES HEHMITE.
Essayons, d'après cela, de déterminer A^ et 6^ par la condition
6 désignant la seconde période. Faisant, pour abréger,
il viendra, en chassant les dénominateurs,
et dans cette nouvelle égalité les coefficients d'une même expo-
nentielle e " devront être égaux. Or on reconnaît immédiatement que ces coefficients seront les séries
de sorte qu'en mettant pour un instant n au lieu de m pour indice dans le terme général tle la seconde, on sera conduit à cette égalité, qui devra avoir lieu quel que soit ;jl :
y A^ . „, B„, ,î'" = y A^, B, ,«iii— '.
— «e —je
Il pourra sembler difficile de tirer de là les fonctions inconnues \m et B;„ dans toute leur généralité; aussi nous borneronsnous à chercher celle solution qui s'offre d'elle-même, et qui consiste à obtenir Tégalité des séries en les rendant identiques. Nous poserons donc
\^-m B^a»- = Ap^-^B^n»!*-"),
et nous imaginert)ns que n soit exprimé en fonction de m, de manièrt» que ces deux quantités puissent représenter en même temps la série complète des nombres entiers. C'est ce qu'on ob-
THÉORIE DBS PONCTIONS ELLIPTIQUES. l45
m^mendra en faisant
A^ étant entier, et après avoir écrit Tégalité précédente sous la ^orme
A{jL-m B/i
^=Dn trouvera ainsi
Au— //î B,/,^A-
^«ijl^,/i-Ar)Aj^,,,A. q»'«B,„
^ais devant satisfaire, quel que soit [jl, à cette condition, on pourra poser
fx — m — A: = m',
/n' étant entièrement indépendant de m, ce qui donnera
d'où Ton voit que chaque |membre est une quantité constante. Ainsi les fonctions inconnues A.^^ et B;,| sont deux solutions de cette même équation aux différences finies^
= const.,
dont l'intégrale générale est
a dépendant de la constante du second membre, et Um devant vérifier la condition
Cette quantité a peut être particularisée, comme on le voit, sans restreindre la généralité du résultat, car il suffira pour la retrouver de changer dans la fonction x\en x -i- ^\ nous la supposerons égale à zéro, et nous prendrons pour h.„i et B;,| les valeurs suivantes :
A,„ = a,rt q ^ ,
B,« = b,n q * , H. - II. 10
l46 OKUVRKS DK CIIAHI.K8 HKRIIITE.
les quanlilës a,,, el 6,„ vérifiant les conditions ALinsi en faisant
le quotient ---| — - sera l'expression d'une fonction doublement pé — ■ riodique, donnée par notre analyse, et il s'ag:it maintenant d'étu — dier de plus près ces séries remarquables auxquelles nous sommes conduit pour le numérateur et le dénominateur.
En premier lieu et relati\emenl à la convergence, si Ton suppose, comme nous l'avons fait déjà, le module de i) inférieur à l'unité, le nombre entier k qui demeure arbitraire devra évidemment être pris positif; mais, cette condition admise, les deux séries considérées comme procédant suivant les puissances quadratiques de I) présenteront pour toutes les \aleurs réelles ou imaginaires delà variable la convergence la plus rapide, et dont aucun exemple n'avait encore été donné en Analyse. En second lieu et pour saisir de quelle manière se réalise la double périodicité dans le quotient, changeons J7 en x -\- b^ par exemple, dans le numérateur. On trouvera
ou bien
m' îTZ.r
iT,h
en ayant «'«gard à la valeur de ^ = e " . Mais dans le ternie général il est permis de rem|)lacer m par m — /:, puisque l'indice doit rece\oir toutes les valeurs entières — oc à -H 00; on trouve ainsi et en faisant <7,w>i=^,„,
' / - . ir,.r - -A 2 (W —Al
, -2/iiLL
THÊORIB OKS FONCTIONS ELLIPTIQUES. l47
de sorle que la série primitive 4>(jc) se reproduit en facteur. Nous écrirons cette relation fondamentale sous la forme suivante :
et en observant qu'elle a été obtenue sans rien supposer sur les coefficients arbitraires am, nous y joindrons celle-ci :
n(x-hb) = U(x)e~^'^^^^'^^\
Par là se manifeste de la manière la plus claire à quoi tient la double périodicité du quotient des deux fonctions ^{x) et ïl (x). Chacune d'elles admet la période a, et, lorsqu'on y change x en
.xr -f- 6, elles ne font qu'acquérir un même facteur exponentiel qui
disparaît par la division (* ).
Bientôt on verra le rôle important que joue le nombre entier k
cjui introduit au numérateur et au dénominateur k constantes
a.rbitraires d'après les relations
^lais nous devons dès à présent remarquer qu'il est impossible de satisfaire aux conditions
par d'autres fonctions uniformes entières y que parla série précédente. Qu'on fasse, en efl'et, pour se placer dans cette hypothèse «n vérifiant la première de ces conditions,
(') Dans le cas où k est un nombre pair^ on remarquera la relation suivante. Faisons
fonction qui ne diffère de ^{x) qu'en ce que les constantes arbitraires a^ sont disposées dans un autre ordre; on aura
— \tx-
l4B QBUVIIB8 DE CHARLES HERIUTB.
OU plutôt
il viendra, en substituant dans la seconde égalité et en compatant les coefficients d'une même exponentielle, a^^A = «m- Avant d'aller plus loin, nous nous proposerons dans une courte digression de dire quelques mots d'une généralisation aussi remarquable qu'importante des séries que nous venons de rencontrer.
III.. — Aperçu sur les fonctions de plusieurs variables à périodicité multiple.
Une fonction i{x^^ x^^ ..., Xn) de n variables peut être périodique non seulement par rapport à chaque variable considérée isolément, mais par rapport à leur ensemble, lorsqu'elle vérifie une condition de cette forme
f(a:i-+-a,, x,-r-aj, ..., J*,|H-a«) = f(J?i, Xu ..., a-/i).
Sous ce point de vue plus général, on a d'abord cette proposition qu'une fonction uniforme de n variables ne peut admettre plus de 2/1 périodes simultanées (M. Mais il est extrêmement remarquable et c'est à M. le D"" Riemann, de Gottingue, qu'on doit cetle belle découverte analytique, (ju'à l'égard des fonctions uniformes ou bien déterminées, les 'in périodes simultanées ne peuvent être des quantités données a prioriy et indépendantes les unes des autres. Qu'on forme, en eilet, avec n périodes simultanées convenablement choisies :
(tu «2, ...,
bn.
f^u gi
gn.
les n fonctions linéaires
\, = aij-, H- ^1X5-+-.
..^fÇ\Xn,
Xi = rt,.r,-u62.r5-r-.
^'-r-gtJTn,
..-t-gnXn.
(*) Si elle est entière, elle n'en peut adnielire plus de n.
THÉORIB DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l49
En posant
f(X,, X,, ..., X«) =F(a:|, ar,, ..., a7«),
•on aura une fonction transformée simplement périodique par rap- ]port à chaque variable, mais qui conservera n autres périodes ^simultanées, et c'est à leur égard que se manifeste dans toute sa simplicité la relation que nous voulons énoncer. Représentons-les par
■™i, Aj, • • • » A./i,
Bi, Bj, ..., B„,
Gi, Ga, ..., Gw
La proposition de M. Riemann consiste en ce que les termes de ce Tableau qui sont placés symétriquement par rapport à la diagonale A|, Ba, . . ., G« sont égaux entre eux, ou, ce qui revient au même, en ce que les fonctions linéaires
Gi a?i H- Gjar.j -f- . . . -H G,, x,i
sont les dérivées partielles d'une même forme quadratique à n indéterminées.
Voici maintenant la généralisation des séries relatives aux fonctions à double période, et qui donnent l'expression analytique des fonctions analogues à n variables et 2/i périodes simultanées.
Représentons la forme quadratique dont il vient d'être question par ©(j;,, .r.,, . . ., x,i) et posons
le signe Ns'étendant à toutes les valeurs entières de — oo à -hoo des n indices w,, /Wj, ..., m,^, et le coefficient constant a^^,;»^,...,;„^ ^tant assujetti à la condition de reprendre la même valeur lorsc^u'on augmente du nombre entier k l'un quelconque des indices. Cette fonction est évidemment périodique à l'égard de chacune des variables considérée séparément, et voici la propriété fondamentale qui la rattache aux séries elliptiques.
iSo QEUVRK8 DE CHARLES HBIIIIITB.
Désignons par a», «3, .. ., a,,^ n nombres entiers arbitraires^ on aura
^ / . \ d^ i do i do \
\ 2 dai 9. doi 2 don/
Cette relation ne contenant pas les constantes a« , ,« , ..., ,„ , une autre série n(j7,, X2^ ..., ^//), où ces constantes auront des dé — terminations différentes, donnera de même
n / i do i do i do \
\ '2 ri^a, 1 dai i ^«/i /
Il en résulte que le quotient -^'^ ^<> • ••* ^^«| représentera une-
fonction de n variables à 2 ai périodes, n d'entre elles égales à Funité et appartenant séparément à chaque variable, les n autresétant les termes du Tableau dont on a déduit la forme quadratiqueç(a7,, .r2, . .., x,t). Elles résultent effectivement des égalités précédentes, en y supposant successivement nuls, sauf un seul qu'on prendra égal à Tunité, les nombres entiers ai, a^, .. .. a„. Nous voyons aussi figurer dans les séries un entier A* dont dépend le nombre des constantes arbitraires qu'elles renferment; or ce nombre sera limité et fini, lorsque la condition suivante, dont la découverte appartient encore à M. Riemann, sera remplie. Soit
/>!' Pty ••» />«»
S|, 55, . . . , Sm
un systiMUc de n'^ constantes arbitraires, il sera nécessaire et suffihunt (|ut* lt'> fonctions
f(J*, -4-.V,, X2-h.Vj X«H-5«),
i^Kuléfii II séro OU ik Tinfini, n admettent qu'un nombre fini et limité «lu MiInlionH quOn ne puisse réduire les unes aux autres en ayant I^IIMld au^ prriodf's.
THKORIE IIKS FONCTIONS fclLL I PTIQ U ES . l5l
C'est à Gtipel et à M. Rosenhain qu'est due la première notion des séries dont nous venons de parler, et leur application dans le cas de deux variables, à l'expression des fonctions inverses des intégrales de radicaux carrés de polynômes du cinquième ou du sixième degré. M. Weierstrass, dépassant de beaucoup les résultats obtenus par ces deux illustres analystes, résolut dans toute sa généralité à l'aide des mêmes séries le problème de l'inversion des intégrales de radicaux carrés de polynômes de degré quelconque. Après lui, en suivant une voie toute différente, M. Riemann parvint aux mêmes résultats, et c'est dans le champ plus vaste encore des transcendantes à différentielles algébriques quelconques que ces deux grands Géomètres se rencontrèrent en obtenant en même temps la solution du problème si général de l'inversion des intégrales de fonctions algébriques quelconques, l'une des plus belles et des plus importantes questions qui se soient jamais offertes en Analyse.
IV. — Comparaison entre les expressions sous forme de produits infinis et de séries des fonctions S et H.
Nous venons, dans un rapide aperçu, de montrer le lien et l'analogie des séries qui donnent l'expression des fonctions doublement périodiques à une seule variable^, et de celles qui conduisent aux transcendantes abéliennes les plus générales. Mais le cas le plus simple dont nous allons nous occuper exclusivement est le seul où ait lieu une décomposition en facteurs que ne comportent aucunement les cas les plus généraux où les séries renferment deux ou un plus grand nombre de variables. Le rapprochement de ces deux genres d'expressions se présente de lui-même, et résulte de ces relations qui ont été précédemment données et que nous réunissons ici :
i!E ( ,• K') e (a:-f-2K)= e (X), e (ar-H •2iK') = — e {x)e « '"*"' ,
H,(ar-f.2K) = -H,(ar), H,(ar h- 2«K') = H,(ar)<? k ••-^"^\
l52 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
Gomme on a évidemment
e(jr-+-4K) = e( J-), H(x-+-4K)= H(ir),
on voit qu<- les fonctions S{x) et H(x) satisfont toutes deux à cr
conditions
♦ (ar -:- aïK ) = — <P(jr)« * ,
et les fonctions B|(a:) et H,(j:-) à celles-ci, pour une raison
blable,
♦ (jr — 4K) = <!>( j*),
'^ «Pl^jr -t- 2iK ^ = q>(x) r *
Mais ce sont précisément celles que vérifie l'expression générale
^\x\ z=y a„t^^ e *• , lorsquVn supposant le nombre k égal à a. on prend pour période
6 = aiK.
Les constantes a^ ^^ réduisent alors à deux, a« et ai, et^ comme elles suflisent, ainsi que nous Taxons établi, à représenter la solution de ces équations la plus générale par des fonctions entières, en leur attribuant des \aleurs Ci>nvenables, les fonctions O, (x) et H,iy^ seront données par la série
a.„^i e " = av > q'^'e ^ — «i > 9 • e «' .
Cette détermination rt'sulle d'ailleurs immédiatement des conditions
on remarque en etVel que les séries qui multiplient a^ et ai véri- 6ent respecti\ement la première et la seconde, de sorte qu'on
THÉORIE DBS PONCTIONS ELLIPTIQUES. l53
aura
ae, ix) = > ^'"'e fc"^ ,
en désignant par a et ^ des quantités constantes. Si l'on remplace les exponentielles par les lignes trigononiétriques et la variable x
par -= — 1 on obtiendra ces développements remarquables
aOi ( j = I -h 2<7 rosia: h- iq^ cos4^ -^ i-q^ cosba^-h. . .,
^Hi I j = i\J q cosa: -h 'i\J q*^ cosSa- -h 2 y' 9** ces 5 a: -h. . ..
En y remplaçant x par a: -4- - > on en déduira
a0 I -^ ) ^ ' — ^^ cos'iJ? -4- 2^* cos4 ^ — '>-q^ cosôa: -h. . .,
PH ( \ z=, lyjq sina; — zy/^" sin jjr -h i\J q^^ sin5ar —
D'ailleurs, en ayant égard à la relation
on trouvera que les deux constantes a et ^ sont égales entre elles. Voici donc entre les séries et les produits infinis des relations d'identité extrêmement dignes d'intérêt, et auxquelles bien d'autres méthodes pourraient conduire. Jacobi, le premier auteur de leur découverte, et M. Cauchy, en ont donné plusieurs qui sont tout à fait élémentaires, mais c'est surtout la suivante qui appartient à M. Cauchy, et présente ce caractère ainsi qu'on va le voir.
Considérons avec l'illustre Géomètre le polynôme entier et fini
(p(z) = (i-|-z)(iH- qz){\ ■^q^z)..,{\-\-q''-^z) — 1-4- Al ^ -h As«« -H. . .-f- A„-^'^
La relation identique
(l-KZ)'f(çr4î) = (!-+- ^"^)«p(^)
l54 QBUVRBS DK CHAULES HBIllIITB.
donne celte suite d'égalités
A,(I — çr) =i — qn^
d'où l'on déduit immédiatement
Cela posé, nommons un instant ^(z) ce que devient ^(z) et remplaçant q par q^y n par ah ei z par -j;^* Si Ton fait
on trouvera aisément a/ au moyen de A,, et, en introduisant n pour indice, on aura cette expression
Le nombre entier 1 doit être regardé comme recevant toutes les valeurs de — /i à -h /i, mais on peut se borner par exemple auic valeurs positives, car on vérifie sans peine la relation
il en résulte pour ^{z) cette forme
— a«^,( *'•- 5 — 5"*» ► ^. . .-H a,«(i -h ;:«'•), ou encore
^iz)
Mais retenons à la valeur de ^{z) sous forme de produit, et observons d*abord qu'en remplaçant q par q- et n par 2/1 dans ©(5), il vient
THÊOHIE DK8 PONCTIONS ELLIPTIQUES. l55
de sorte qu'en mettant en dernier Heu ^^ ^ au lieu de z, on trouvera
Or on peut écrire autrement les facteurs du premier produit, en rem arquant que
^^^^L donne pour ^{z) cette nouvelle valeur
""ïeile est la forme définitive du produit de facteurs dont nous ^"^'^^ns le développement suivant les puissances de z. En faisant, I^^^^ ^ar abréger,
^ ^ st-à-dire
(i-çri)(,-9^)...(i-9««) ' ' ~ (j — çr««-»-«)(i — y*"-»-*). . .(l — gr*'*-^-»') ' identité algébrique que nous venons d'obtenir s'écrira ainsi
<;i-}-9-s)(i-hy»«)...(i-f-9t«-ï5)
^l par suite, en faisant z = e^'^,
(l-H 2y COS'iar -♦- y*) (l -+- 2Çr3 ces '23^ -h y*) ... (1 H- iq^'^-^ C0S1X -h ^♦«-*)
= 5Lrt(i H- 2 ai 9 cos2ar -h aûjçr^ cos4x h-. . .-i- ia,iq"^ cos^nx).
l56 OEUVRES DE CHARLES HBRMITB
Or on a pour n infini
et ridentité algébrique fournit rimportànte propriété de la Ira:! cendante 0|(j7), exprimée par la relation.
(i -h iq co%'ix -h q*) (i -4- iq^ co%ix -h q^){\ -h 2^» C0923r -f- ^t*)
Ce résultat nous conduit à préciser complètement la défini ti^^^ — ^^ première que nous avons donnée des quatre fonctions 0(j7), ïI{jê^ J> Si(x), H|(j7), en les représentant par un produit de facteu affecté d'un coefficient A resté jusqu'ici arbitraire. Nous fer(^ désormais
et nous aurons de la sorte
Bi ( ^ j = i ^ iq C0S2-F -h 2^* cos4ar -h 2çr» cos6âr -h. . ..
En partant de là et à Taide de la relation
e,(a:-h/K')=Hi(:r)e"nS^*'"^''^'\ on aura ensuite
Hi ( j = 2 v^ cosx -h i \/q^ cos3a: h- 2v^^" cos5:r -h.. .,
et ces deux formules, en y changeant x en x -\ — -* donneront
e ( ) = * — '^9 COS1JC -h iq^ cos4^ — 29^ cos6x -h. . .,
H ( '— \ = i^q sïnx — i\/q^ sin3a:-+- 2 V^** sin5a7 —
Telles sont sous les formes de produits infinis et de séries les transcendantes dont nous allons établir les propriétés.
THÉORIE^ DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l5y
nx formes principales que peuvent prendre parmi une infinité d'autres les fonctions e, H, etc.
Dt touche à la plus belle partie de la théorie des fonctions îs, à la théorie de la transformation, que les bornes de e ne nous permettent point d'aborder. Mais, indépendamleur intérêt propre, les formules que nous allons établir onnent cette transformation spéciale des fonctions 0, >ii Ton remplace l'une par l'autre les quantités K et iK', ont indispensables plus tard, et Wus devons d'autant s omettre qu'il est extrêmement facile d'y parvenir, n va voir. D'ailleurs, on sera mis ainsi [sur la voie de la 5 analogue et plus générale, où l'on remplace K et iK j-miK!, nK-\- n' iK\ m^ m', n^ n' désignant des nombres !t qui constitue le sujet même de la théorie de la transfor- Dans le cas où nin' — m' /i = i , on est amené à ce que Jame la théorie des formes en nombre infini des fonctions c. ; mais, parmi toutes ces formes, ce sont celles que ns établir et dont nous aurons à faire usage, qui méritent rticulièrement distinguées. Posons
e, (x)=e*»^'i'e,(ar),
immédiatement correspondre aux relations fondamentales ux fonctions 0, H, 6|, H,, à savoir :
\ H (^-hK)= H, (a:),
j e,(:rH-K)= e (x),
( H,(j7-hK) = — H(j:),
ITT .„,
^,{x-\-iK')=H,{x)e *k' ''■^' ', H,(ir-heK') = ej {x)e ''^ ,
|58 UBUVRES DK CHARLES HBIIIIITI.
celles-ci :
; e (:r-+-iK')=«r,(ar),
0,(x4-«-K') = Tii(:r),
0,(x4-«K') = Tii( ' Ti,(:r-h/K') = e,(
0 (a'-+-K)= ei(x)<î^«t'
Cela posé, remplaçons les équations (a) parles suivantes, évidemment leur sont équivalentes :
\ n (:r-K)=-Hi(^^ H,(ar-K)= H(ar).
Alors, en comparant les équations (a') et (fe) aux équations Ç^ et (rf), on remarque que le second système de relations coïncr -^ avec le premier lorsqu'on y remplace d'une part
K et iK' respectivement par
/K' et - K,
et de Tautre
0(37), r,(x), 0,(ar), 7n(x)
pjir
Hi(x), lu(x), ex(x), e(x).
l,t'n nouvelles fonctions que nous avons introduites se trouvent WMi»i f iiiiMMKM^s aux anciennes et, si Ton remarque que par le chan-
H^ifliitnii t\i* K en /K', et de / K' eu — K la quantité q z= e ^ de-
vi^'Ml //« '' **, on aura en conclusion les expressions suivantes,
THÉOHIK DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 1 69
oim ]M et N désignent deux facteurs constants :
J = M.*>. /y.) COSJ^d H- Xql COSIX -H 9J )
X (i H- 2qi cosjLX -h yj)(i -h -2 qi cosix -h qi^), . . .,
*rj / j = M.2 v^ sinj*(r — iqi cosix -h q^)
x(i — iqicnsix-^ql){i — iqlcos'ix-hql*), . .., ^ /'ziK'x\ ,.
X (1 -+-2yJ cos2jr -h 9J)(i -h 2^J cos2a7-h ql^), . . ., ni ( — - — ) = iM(i — 2çroCOS2J7-+- qi)
X (1— iqi cos2ar ■+■ yj )(i —iqi cessa; -h ^i"), . . .,
2* 6( j = N (2 ^qo cosx-f- 2 v^^J cos3a?-i- 2 y^^J^ cos5x -h . . .),
* TTj ( j = N (2 v^çTo sina? — 2 ^^J sin3ar-H 2 ^'grj» sin5a* — . . .),
/ iiK'x\ ^ i I j = (S (I -H iqo cos'ix -+- iq^ cos4a7 -h 2^5 cos6ar -♦-. . .)»
"■^ 1 ( j = N (1 — 2^0 ces 2 07-+- iqi ces 4 a: —2^3 cos6a^ -H. . .)•
*— ^ principal intérêt de la seconde forme analytique qui nous ^^^ ^nsi donnée par les quantités Ô(j7), ri^x), etc., consiste en *^^ ^ue Ton introduit, au lieu de > l'argument imaginaire
^i^ — — • En supposant K et K' réels, on a donc sous forme réelle * on peut suivre la marche des fonctions, que l'argument soit ^^^tnéme réel ou multiplié par \/ — i ; bientôt on en verra une ^Implication.
Propriétés fondamentales des fonctions 0 et H ; définition de sinatna*, cosaina*, A amx.
En employant dans ce qui précède la considération de la fonction
pour le cas de Xr = 2, nous avons supposé
b =2tK'.
l6o OEUVRES DK CHARLES HBRMITE.
Désormais nous garderons pour périodes ces deux quan nous ferons par suite
avec la condition
ce qui donnera, comme nous l'avons établi, la manière générale de satisfaire par des fonctions entières unifori deux conditions
4>(a7 -+- 2«K') = «ï>(ar)c '*
Cette solution générale renfermera donc pour A" = 4, par e quatre constantes arbitraires, que Ton mettra en évidence tinguant ces quatre formes de l'indice m, m = 4 'i? 4 'i 4- 1 , 4^1 -i- 3, ce qui donnera
OU bien, pour abréger,
<t>(x)= a^^^{x) -^ ax^x{x ) -^ a^^^{x) -\- a%^^(^x),
Par là on voit que, dans le cas où
<t>(j: -f- aK) = *(a7), la solution est représentée par
*(x) =ao*o(ar)-+-ai*i(x),
et ne contient plus que deux constantes. De même, en supposant
THÉORIE DBS PONCTIONS ELLIPTIQUES. l6l
on siura avec deux constantes arbitraires seulement
4>(a7) = «1 *i(ar)-+- as<I>3(a:).
A. xnsi nous avons la manière la plus générale de vérifier ces deux systr^mes de conditions, savoir :
( ^{x-h .xK)=— *(ar), II- j »<^. •„.
' *(a:-i-2iK')=*(ar)e «
Gela établi, nous remarquons qu'en élevant au carré les deux membres des diverses équations fondamentales de la page i52, les résultats sont précisément de la forme du premier de ces deux systèmes. Nous en tirons cette cpnséquence, qu'en désignant par a, fe, etc., des constantes, on aura
e* (x) = a^o(x)-hb^i(x), n^ix)= c 'Po(x) -H d^i(x),
et
en changeant x en :r -4- K,
H\(x) = c *Po(^) — d *Pi(x),
En second lieu, si l'on multiplie membre à membre, soit les deux premières, soit les deux dernières de ces mêmes équations, c'est à la forme du second système qu'on se trouve amené, par suite on a
e(ar)H(ar) = A*,(a:)-HB*s(^),
A et B désignant de nouvelles constantes, et cette relation donne., ^^ y changeant j? en a? -h K, la suivante :
^ '^ Se tirent, parmi bien d'autres conséquences (*), les relations S^briques et différentielles de nos fonctions.
' ^^otamment la transformation du second ordre.
