H. ^ II. II
l6x (JKL'VRES DE CHARLES HBRMITE.
I. — Relations alfrébriques. — Du module et de son complément.
Deux équations linéaires entre les carrés 0=*, H*, HJ, HJ résultent évidemment des expressions de ces quantités par 4>o {x) et 4>2(x). L'une d'elles pourra être présentée sous la forme
a et a' désignant des constantes que nous allons déterminer.
Pour cela faisons ces deux hypothèses x = o et x = K; comme on a, d'après les formules de la page i43, H(o) = o, H|(K) = o.
il viendra
*"Hî(o)" Mais on introduit au lieu de a et t! les quantités suivantes :
et comme
la
relation
H(^-rK)= H,(j^)
donne
H( K) = Hiioi,
on aura
kkiHT) = HHx)^ k'li\(x).
Cette première relation obtenue, la seconde en résulte en y changeant jc en x -r ÎK' ; ^i Ton emploie à cet effet les formules données page i4^j il viendra, en supprimant le facteur exponentiel,
— kH^-{x) = — H2(x)-r- /■'«?( a-), ou bien
Ces deux équations représ»'nlenl d'ailleurs toutes les relations algébriques possibles entre nos quatre fondions; elles conduisent
THÉORIE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. l63
â la notion des quantités que nous avons désignées par k et k' ^ et dont les racines carrées s'expriment en série de cette manière :
/T ^ H(K) __ 'x'y/'q -h -a \/q^-^'i y/^ -\- n v/y*« -4-. . . rn ^(o) __ î— T.q -^ iq^ — iq^ -\"iq^^ — . . .
La première, k, s'appelle le module de 6(^), H(j7), 6« (^), H, (*ï), et la seconde, Ar', le complément du module. Considérées par rapport à q, ou plutôt en faisant
par rapport à la variable oj, ces quantités constituent un genre de 'onctions analytiques entièrement nouvelles et de la plus haute "ïipoi-^g^fiçe parmi les fonctions d'une seule variable. C'est principalement en Algèbre, dans la théorie des équations, et en Arithmétique, dans la théorie des formes quadratiques à deux indéterminées, que la considération de ces fonctions a suggéré ^ elle— même des points de vue tout nouveaux et ouvert des voies «ecoixcles, où ont été obtenus les plus intéressants résultats. Les *^*->i*nes de cette Note ne nous permettent pas d'entrer dans ce champ déjà si étendu de belles recherches, mais ce que nous ^*^oixs à l'égard des fonctions B, H, etc. servira de préparation ^^llisante pour lire les Mémoires spéciaux qui y sont consacrés. ^^t de ces fonctions, en effet, étudiées à la fois par rapport à x ^^ f que découle tout ce qui concerne k et A*' qui contiennent ^^^^lement w, et il ne semble pas possible, dans l'état actuel de nos c^^ïxuaissances en Analyse, d'arriver à toutes leurs propriétés en P'^ï^lant uniquement de leur définition comme quotient des séries ^^ntiées précédemment (•).
. ^. * ) Poisson ei M. Cauchy sont arrivés, par deux méthodes différentes, à cette
*^^ntité:
S/'-iui{i-i- 2 e'"" -h 'J e*"'" -+- 2 c'*''--t-. . . )
^^i conduit à des propriétés fondameniales des modules considérés comme fonc- ^'on de u>. Mais il n'est possible de tirer de là que la transformation pour le pre- *^ier ordre, et aucune autre voie pour parvenir aux équations modulaires ne ^est encore offerte que celle qui a été donnée par les fondateurs de la théorie ^cs fonctions elliptiques.
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On se rendra compte, jusqu'à un certain point, de cette difficulté, en observant que k et k' n'existent comme fonctions de 6) qu'autant qu'en supposant cette variable imaginaire et de la forme
P est essentiellement différent de zéro et positif. Ce sont donc
véritablement des parties de fonctions qui, dès lors, échappent à
beaucoup des méthodes les plus habituellement employées. Ainsi,
il n'existe pas pour k et k' de développement suivant les puissances
de (o, et si l'on fait
pour pouvoir employer la série de Taylor, voici encore les circonstances particulières qui viennent s'offrir. Les quantités k et k sont déterminables par la résolution d'une équation numérique, pour une infmité de valeurs de (o, telles que
A, B, C étant entiers, et B essentiellement positif; mais, si l'emploi de ces valeurs initiales, en faisant (0 = 0)0-1-^9 donne pour premier terme des séries une simple irrationnelle numérique, les termes suivants sont nécessairement des transcendantes. Ainsi, par exemple, pour Wq = f , on aura
et, en prenant w = 1 -h A, ce sera l'intégrale
r' dx
qui entrera dans tous les coefficients des développements de k et /r', suivant les puissances croissantes de A. On voit par là combien on est éloigné des séries qui définissent les transcendantes simples, où les coefficients sont toujours commensurables. Mais, sans nous étendre plus longuement là-dessus, et pour revenir à ce
THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. i65
gui concerne notre sujet, nous allons justifier les dénominations l.e module et de son complément, données k k et k', en démonuYant cette égalité
Lies deux relations que nous avons obtenues sont
