X-e«(a7) = H,(j7) -4-A:'Hî(a7), e«(ar) = XH«(x)-+-A:'ef(ar

'IFaisons dans la seconde x = K, après avoir divisé les deux memlores par ^^{x)^ en remarquant qu'on a

e,(ar-f-K) = e(ar), ^t, par suite,

on trouvera précisément Fégalité qu'il fallait démontrer. 11 en résulte cette relation entre les séries infmies

-h (l — 2^ -f- 'iÇ* — -iq^ -h 2^i« — . . .)*

qu'il est extrêmement facile d'établir directement à l'aide des propositions arithmétiques connues sur la décomposition des nombres entiers en quatre carrés. Mais, laissant encore de côté ces questions, nous allons compléter ce qui concerne la définilion même de k et k^ dont nous avons obtenu les racines carrées comme fonctions uniformes et bien déterminées de lu. Jacobi a fait voir que les racines quatrièmes possèdent la même propriété en donnant les formules remarquables que nous réunissons ici :