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En second lieu, et pour le complément du module, on a

__ I — iq — AÇ* — i^» — 2^** — — "" I — i</* — >^* — i^'* — ig^^ — . . .

I — iq — jy* — iq* — iq^* — ...

ou, en motUnI en ô>idenoe les termes généraux.

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TIIÉORIR DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 167

La quantité ^kk qui joue aussi un rôle important est donnée par *® développement de forme semblable aux précédents :

VkV ^^TiXJq

Osons

II. — Définition de sinamâr, cosamâ?, A amo?. Équations différentielles.

I H(ar)

yjk ^(^)

^^ relations algébriques obtenues précédemment, et qui sont ho- '^^ç^ènes par rapport aux quatre fonctions, donneront

^*^ première conduit à représenter a par un sinus, v par un cosi- ^^s; c'est ce qu'a fait Jacobi, et, en adoptant les notations de Til- ^^^sire géomètre, nous poserons

// = sin ain:r, V = cos ain:r, t^ = A am^r.

Le sinus, le cosinus et le A de l'amplitude de la variable x seront

l68 OEUVRES DE CHARLES HERIIITE.

ainsi les trois fonctions doublement périodiques fondamentales Nous voici amenés maintenant au point en quelque sorte le pliE s essentiel de la théorie, où Ton a pour but de les définir par troi équations différentielles.

Considérons à cet effet la dérivée de e/, à savoir :

du ^ J__ H'(x)e(x) — H(a:)e'(T) ^(x)

Cette dérivée, comme la fonction elle-même, admet la période 2/K' et ne fait que changer de signe lorsqu'on changea en j:-f-2K ayant donc pour le numérateur la valeur

on tirera immédiatement des relations

auxquelles donne lieu le dénominateur, celles-ci :

4>(r-+-9.K) =^(x), <P(x -h 'liK') = ^(x)e ^

Or, d'après ce qui a été précédemment établi (p. 160 et 161), on a

<P(x) = «1 4>i(ar) -f- «8 ^i(x) = m ^(x) H(ar) -h nii iii(x) H|(ar),

m et nii désignant des constantes. Observant donc que u change de signe avec x, et que, par suite, -y- est une fonction paire, on voit que la partie impaire mS(x)}i{x) doit disparaître; ainsi /w = o, et l'on a simplement

4>(a") = Wiei(T)H,(:r).

En divisant par S'^{x) et faisant

il viendra

Civile constante y. représente, puisque la fonction u s'évanouit

^ 'Xf ec X, la limite du rapport pour x = o, limite qui dé-

f>^nd en général des quantités K et K'. Mais nous avons précéi ^sminent remarqué que l'expression des fonctions B{x)ïl{x) ne

c^ftiangeait pas en y remplaçant x, K, K' par — . -> — > et que cette

t^ Srconstance serait utilisée pour particulariser d'une certaine ma- ■=:^ière les périodes. D'après cela, nous allons introduire une rela-

•- îon qui aura pour efl'et de rendre égale à l'unité la limite >

s^fin de rapprocher en ce point essentiel le sinus d'amplitude du s^inus trigonométrique. Ayant

3inam(^)

a V^-sin— =^ ( I — 2^*cos-=T- -^q^ )[ i — ï^^cos-r^-f-^* 1... ^ l\ — iq cos -— H- ^*) ( I — '^^^ cos ~ -*- ^'j •••

nous ferons, pour j? == o.

ou bien

{kK ^ y- r(c-yt)(|y4)(,^6).. T»

Ainsi, en admettant que les quantités R et K' vérifient cette condition, nous aurons

du dx

c'est la première des relations différentielles que nous voulions établir. Les autres en découlent à l'aide des équations

«î -h pî =1, k^ a* -H tv* c= I .

tx. sont

dv dx dw dx

I7<> OBl'VRES DE CHARLES HERMITE

Plus généralement, on aura

dx^n

= ( Aa -I- A| a* -h AtM*H-. ..-h AnM*") ««»

les coefficients étant des fonctions entières de k^. On en dédui «^ ^ développement qui subsiste entre les limites — i et -f- i de la '^^ riable, et où Ton a fait

ii = jr — iAra-^ h- 4A:«(3i« -^ 3) ^

— 8A^»(«'-*-33a[) — ^ hi6A:*(a*H-3o6a*H-i89) ^

— 32A:»( ac» -h 2766a» -h 828901) On trouve de même

V =1—— -h(i-f-4^«) — ^Vt — (»-^44A:«-t- i6A:^) ^*

iv = I— A:* — -hA:*(4-+-A:«) — ^^ A-î(,ô-k 44A:»h- A:*) ^*

-+- A:»(64 -+- 9iaX-« -4- 4o8/t* -h A:«)

M. Giidermann (*) a fait la remarque qu'on pouvait poser, au' termes près du cinquième ordre,

sin u =

in (x v^i -+- A*)

/iH-A:«

p = cosar, iv = cosA::r,

en négligeant seulement j?*, ce qu'on vérifiera sans peine par le développement.

Voici donc une nouvelle et complète définition des trois fonctions doublement périodiques, en joignant aux équations dilFé-

(') Journal de C relie y t. 19.

i*entielles les valeurs initiales w = o, i^ = i , (v = i poiir x^=o. En f>sirticuUer, la fonction sinam(j;) sera déterminée en posant

J^ v/(,tt«)(i-A:«a«)' ^m c'est cette intégrale, ou, plus généralement,

F(u)du

n désignant par F{u) une fonction rationnelle, dont l'étude a uvert la voie pour parvenir aux fonctions elliptiques. On recon- ■zi&aît ainsi l'origine de cette expression de fonctions inverses, dont ^[zious avons plusieurs fois fait usage, puisque // est la fonction in- "^erse de l'intégrale dont la valeur est x, et l'on peut juger quel ^ ong enchaînement d'idées et quels efforts il a fallu pour parvenir ^e là aux notions de fonctions doublement périodiques et aux se- :Bries qui nous ont servi de point de départ. Mais ce long travail a ^té fécond pour la Science; c'est comme conséquences de ces re- <!herches que nous ont été acquises plusieurs notions analytiques entièrement fondamentales, et en particulier ce que nous savons sur le mode même d'existence des fonctions intégrales. Après avoir trouvé, par exemple, que sinam(j:) ne change pas lorsqu'on change ;ren x -h 4^^^-^ 2 w'/K', m et m' étant des nombres entiers, on a dû nécessairement rechercher dans l'intégrale

la raison de cette sorte d'indétermination qui donne naissance à la périodicité dans la fonction inverse. M. Cauchy, dans son Mémoire sur les intégrales prises entre des limites imaginaires, avait donné les principes essentiels de cette étude si importante; elle a été complètement faite par M. Puiseux, dans un excellent travail intitulé : Recherches sur les fonctions algébriques {Journal de .1/. Liouville^ année 18.10), et auquel nous renvoyons le lecteur. Un autre résultat encore consiste dans ce sens plus complet et plus approfondi, que l'on a été conduite attacher en Analyse à l'expression même de fonction, en reconnaissant et en caractérisant, entre les divers modes de dépendance de deux quantités, des dis-

lyi (KUVRE8 DE CHARLB8 UBMIIITB.

tinctions essentielles et dont les recherches auxquelles a donné lieu la théorie des fonctions elliptiques ont montré toute l'impor^ tance. Ainsi ont été proposées ces questions dont Fobjet est de reconnaître dans la définition même d'une fonction, donnée, par exemple, par une équation différentielle, si elle est uniforme ou non, et dans le premier cas si elle est entière ou fractionnaire. Les résultats les plus beaux par leur grande généralité qui ont été obtenus dans cette voie sont dus à M. Weierstrass (') et à M. Riemann (*'*).