III. — />« quantités K et K
En particularisant les périodes de manière à rendre égale à
Tunité la limite du rapport pour x infiniment petit, nous
sommes parvenus à l'expression
/ïK ^ 4 - r(i~y')(i-yM(i-y*)..."l«
qui conduit à une conséquence importante. Observons d'abord qu'en supposant x = K et, par conséquent, sinamK = i (*) dans l'expression en produit infini de sinamx, on aura
Rn divisant membre à membre ces deux équations et extrayant
(') Théorie der Aùel'schen Functionen {Journal de C relie, i856). Voyez aussi diverses ^otes de M. Cauchy, publiées à cette époque dans les Comptes rendus, et un Menioire de MM. Brioi et Bouquet : Sur l'intégration des équations différentielles du premier ordre.
(^) Allgemeine Vorausaetzungen und Hiilfsmittel fiir die Untersuchung von Functionen unbesclirankt verànderlicher Grossen. etc. {Journal de CretUy
(^) On trouve que siiiamK =i par la formule sinamj?= -7:^ ~ » en se
rappelant que par définition v'^^" = ttt-^x» page i6j.
Isk racine carrée, il en résulte
r(i-hy)(i-hy»)(,-|-y5)...1
L(I-+-^«)(I-+-^M(l-^-yM..J'
^^-ipression susceptible d'une simplification remarquable. Em- ^z^loyons à cet effet la relation donnée par Euler
on obtiendra d'abord
<l en remarquant ensuite que
x(iH-^) (n-y«)(i-f-^»)...,
(i-h^)(iH-yM(i-+-^')...= (n-y)(n-y»)(i-H^»)...
X(l-4-^«)(l-^gr*)(|-4-gr«)...
on verra tous les dénominateurs disparaître dans la valeur de 1/ — > qui deviendra ainsi
^ = (l-.gr«)(i yV)(,-^6)...[(.^y)(,-+.^»)(l-h^»)...]«.
Cela étant, si l'on pose x= o dans la formule précédemment démontrée
0i 1 1 = I -+- 2^ cos2J7-f- 27* cos4j? -<- 2^»cos6a7 -f-. . .
= (l -+- ÀÇ COS2J7 -f- ^*)(l -4- 2^' C0S2X -h ^« )
X (l -+- 2^*COS2ar-h7'0). . .(I — ^*K'— 9'*)(ï —^* )•••<»
il viendra
d'où ce résultat, qui est d'une grande importance dans la théorie
des fonctions elliptiques,
= ©i(o) =i-f--2^-t- iq^-t- iq' -h
On en déduit, en ayant égard aux équations
Jt = ^^^> - "'(°) ^ ©(K)-e,(o)*
les deux suivantes :
l/li^ =Hi(0) =-2 V^'^-+-2v/y9-*-!iV^^"-h2V^yi» -+-...,
'ik'K
C'est la seule quantité K qui donne lieu à des relations de cette^==
forme ; la quantité R', entrant d'une manière différente dans l'ex —
!^ pression q = e *', ne parait pas susceptible de développements
analogues en série. Mais toutes deux s'expriment d'une manière parfaitement semblable à l'aide des modules k et k' par ces intégrales définies
comme nous allons le démontrer.
Précédemment nous avons déjà fait voir que sinamK==i; remarquons maintenant qu'en faisant x=K dans les relations
e(x-hiK')=iU(x)e ''^^ ^"^' ', H(x-^lK') = ie(x)e *k'-^-*-' \
et en divisant membre à membre, il viendra
H(K-hiK') ^ e(K) j e(K-i-iK') - H(K) - /jf'
I Uix) , , I
par conséquent, sinamar = — ^-^ — - aura la valeur j pour
,a7 = R -h iK!. Ayant donc
r" du
xious en conclurons que
•* du
^t, par suite, en retranchant membre à membre, Or, en faisant
cette dernière intégrale deviendra
ce qui donne le résultat annoncé.
Mais ce que nous venons de dire laisse subsister une lacune importante : nous sommes en etVet à l'un de ces points de la théorie des ^fonctions elliptiques qui appellent de nouvelles recherches pour être aussi complètement traités qu'on peut le désirer. En passant de l'équation différentielle
a la relation
r" du
on laisse absolument arbitraire la loi de succession des valeurs de Ja variable u dans l'intégrale, de sorte que les relations précé-
dentés
du
J^ v/(,-Mi)(,A:«ii«)
n'auront un sens entièrement déterminé qu'en 'définissant 1^ chemin (•) décrit par la quantité /< = sinamj?, lorsque x vari^ de zéro à K, puis de R à K H- * R', et, comme l'argument x peu^^ varier entre ces limites suivant une infinité de lois, il faut de pla^ connaître comment les chemins correspondants qui en résultentdonnent tous au point de vue de l'intégration par rapport à i/ le même résultat. C'est seulement dans le cas où l'on suppose R, R, et par suite Ar, des quantités réelles, et qu'on se donne ces lois particulières
ar = K -H —^ T,
/ et T croissant de o à - d'une manière continue, que l'on peut
traiter la question que nous avons posée.
Et d'abord on voit que // =:sinam ( ) est réel par le dé\e-
loppeinent
/2K A 21 ^sin/— >.v 7» sin 3/ -h •>. i V* sinS/— ...
sinain ( ) = -^-^ ^^ ; 2— ï— : .
\ 7t / I — iq cosAt -^ x q^ cos\ t — jigr» cos6 ^ H-. . .
D'ailleurs entre les limites zéro et R la dérivée
di " /Â- ^*Til '
dont la valeur initiale est Tunité, sera toujours positive. Elle ne peut eirectivemenl s'annuler qu'en faisant
( ' ) Nous supposons que tes notions fondamentales dues à M. Cauchy sur la représentation géométrique des imaginaires, et sur les intégrales prises le long d'une courbe, sont connues du lecteur.
THÉORIE DES PONCTIONS E LLI PTIQtJ ES. tyy
c'est-à-dire (voyez p. i43),
X = f 2/n-»- i) K-+- 2/n'iK',
et aucune de ces racines n'est comprise dans Tintervalle considéré, la valeur J7=K se trouvant précisément la limite supérieure de cet intervalle. Nous conclurons de là que, t croissant de o à - » a croît de même de o à i et que dans l'expression
l'intégrale est prise dans le sens habituel. Soit en second lieu
comme on a
H(K.iip).„,(îi£;), ,(K.iiiL').„(îi^),
on pourra écrire
/■ 2iK't\ I M r 7 sinam ( K H ) = —z. ; — t^t-, »
et en introduisant les fonctions
sin am ( K H J = -— — .-., ,
I ï — 2^,, COS2": -¥■ xql cos4t — iql ces 6t. . . Jjç I -»- 2^0 C0S2': -+- 2yJ 008 4*: -^iq% cos6t. . .
ce qui est encore une quantité réelle (*). On conclura, comme
(*) On se rappelle que 7« = e ^\ voyez p. i58. H. - II.
17^ 0BUVRB8 DE CHARLES HEHMITB.
tout à l'heure, que la dérivée par rapport à t, qui est nulle aux
deux limites t = o, t = -t ne peut s'évanouir dans leur intervalle,
de sorte que c'est encore dans le sens ordinaire d'une intégration rectiligne que l'on a l'équation
d'où nous avons tiré
Avant de quitter ce sujet et afin d'en {montrer la difficulté lorsque K, K' et A* sont imaginaires, je remarquerai que la supposition qui vient le plus naturellement à l'esprit, qu'on peut faire varier x^ par exemple, de o à K, suivant une loi telle que u soit constamment réel, ne saurait élre admise. Autrement dit, il est impossible, en général, que, dans l'expression
rintégrale soit toujours rectiligne, comme nous l'avons trouvé tout à l'heure.
ElVeclivement, soient
a, />, (\ d étant des nombres enlier> qui vérifient ces conditions :
ail — hc =r I ,
Kn posa 11 1
V inod-2.
THEORIE DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. iJQ
OD aura
23C:f\ (—1) * 9. /^sina? — 2/^ sin3ic-+-2/5" sinSa: — ... ^ I — 2^cos2J7H-a^cos4iF — 2^cos6a?-4- ...
3e qui est la même expression analytique (*), au signe près en K et tX', que
(aKa7\ I 2 %/ g s'xnx — i\/g^ s'in3x -^ 2 t/g^* s'in 5 X — ... ) = -7= —^^ ^^-^ 1 ; ^^-^"5 5 — ; ^ / yk ' — 27 cosaa? -♦- 2y* cos4a: — 2^» cos3a7-4-. . .
en K et R'. On en conclura que tK sera donné comme R par l'in-
^' * du
léffrale / . Or, en supposant b différent de o,
la valeur imaginaire
^ =aK-hbiK'
ne pourra évidemment résulter que d'une intégrale curviligne. Mais voici un résultat important et qui subsiste quel que soit le mode d'intégration : c'est que les quantités R et R' vérifient la même équation linéaire du second ordre
dont l'intégrale avec deux constantes arbitraires C et C est par
suite
z = CK-hG'K'.
Cette équation conduit au développement de R et R' sous cette forme : soient
(*) Les relations analogues rclativemenl à rosam(2;)eL Aain(^) sont
/aOCa;\ ttL /J 2yâcosx-f-iv^5>»co83a?-h*v^5"cos5x-4-...
cos am ( ) = (- i) « 1/77 ^ ^ ^ —^^ ,
\ t^ / \ K I — a^cosaar -ha^* cos4a: — 3 ^•cos6j?h-...
[2tKx\ - /-, i-H 2 '^cosaar H- 2^* cos4a?-l- a ;^'cos6a? -h.. .
\ it / "" 1 —2 ^cos2j7 -h 2 ^* cos^a? — 2 ^cos6a?-f- . .. '
00 en déduit, en supposant x = o, ce qui concerne ^k et sjk' lorsqu'on y change K et K' en ÎK et »C'.
l8o OBUVRBS DE CHAHLE8 HBHIIITR.
et k«, la somme des n premiers termes de cette suite, on aura R=îk,
K'=klog|-rk-i)-:^(k-k,)-JL(K-K,)-....
On en déduit aussi cette propriété remarquable, à laquelle nous parviendrons plus loin par une autre voie :
KJ'-JK'= -
en faisant
Addition des arguments. — Théorème d'Abel.
C'esl Euler qui a donné le premier les formules pour exprimer sinani(a -h 6), cosam(^/ -h 6), Aam(a-f- é), au moyen des fonctions semblables relatives aux arguments a et 6, et cette importante dccou\erte a été le point de départ et la base des travaux qui ont fondé la théorie des fonctions elliptiques, de même à peu prrs qu'en Trigonométrie élémentaire on est parvenu aux propriétés analyti(jues du sinus et du cosinus en partant des relations (jui donnent le sinus et le cosinus de la somme de deux arcs, en fon(*lion des sinus et cosinus de ces arcs. L'illustre analyste, par une sorte de divination restée célèbre dans Thistoire de la Science, obtint sous forme algébrique l'intégrale générale de Téquation
du du'
y/ ( I — a* ) n — A* «i* ) ^iï — a * ) ( I — A* m'*)
Or ce résuhal revient exactement à l'expression du sinus d'amplitude de la souuiK^ de deux arguments, comme nous allons le montrer. Kll'ecli veulent, en désignant par C la constante arbitraire, l'intégrale est
, 1/ yA I — M* ) (^ I — A* U' ) H- M v'( * — w* )( I — A- u^)
THKORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l8l
Mais si l'on fait,
u = sin amaf a'= sin ama',
l'équation (i), réduite à la forme
da -+- dd = o, donne immédiatement
Voilà donc, sous deux formes différentes, l'intégrale d'une même
équation différentielle, et l'on devra passer de l'une à l'autre en
ët'iblissanl la relation qui lie les deux constantes arbitraires. Je
remarque à cet effet que c est évidemment la valeur de a pour
<x' ^ G, et, si l'on fait semblablement a' =. o et, par suite, m' == o
dans Téquation (2), elle donne c = u = sinama. La relation entre
les constantes est donc
G = sin amc.
-Ainsi la valeur de C en u et //' donne précisément la détermina- «^ion de sinam(a + a') en fonction algébrique de sinama et -^inam a', La Géométrie fournit aussi plusieurs méthodes extrêmefnent intéressantes pour parvenir à ce même résultat; ne pouvant "î ci les indiquer, nous nous bornons à donner sous sa forme analy- * ique si remarquable le théorème découvert par Abel pour l'addi- •Cion d'un nombre quelconque d'arguments.
