I. — Théorème d'Abel

Les expressions de sinam.r, cosama?, Aama? par H(jr), ïl(.r), etc., fournissent les relations suivantes qui établissent la double périodicité de ces fonctions, savoir :

\ sinam (a: -♦- 2K) = — sinamor, f sinam (rr -t- 2f K') = H- sinaina?;

. ces am(j* -+- ^K) = — cosamar, cos Bm{x -{- liK' ) = — cosam:<t*;

. Aam (x-^iK) =-f-AamrF, Aam (a:-+-2iK')= — Aamâr.

l8a 0BUVRB8 DE CHARLES HBRMITB.

Or on remarque que les trois fonctions se reproduisent dans le second membre au signe près, de sorte que les diverses combinaisons deux à deux de ces signes, pour Tune et Pautre période, forment pour chacune d'elles un caractère spécial et qui lie entre elles, d'une certaine manière, toutes les fonctions plus générales, composées de sinam^, cosamx, A amx, qui à l'égard des périodes satisferont aux mêmes relations. Ainsi, en désignant par F(x) et /{^) deux polynômes entiers en sinam^ respectivement des degrés n et n — i , et faisant

<pi(x)= sin amâ? F(sin* amjr) H -z /(sin'ama:), .

«p,(ar)= cosamâ? F(cos*amj?) n t /(cos^amar),

(p,(a?)= Aamâ7F(A<ainjr) h ^ /(A*ainx;,

on aura, comme précédemment,

j®,(j:h-2K) = — ©,(3?), I <pi(a?-^atK')=-Hç,(x);

jj 1 <pi(a:-i-2K) = — ^,(ar),

I <p,(a:-t-2iK')= — çi(ar);

jjj j ft(x-+-2K) =H-«p,(ar),

î Os(ar-f-2«K')=— <p8(ar).

Ce sont ces diverses expressions qui figurent dans le théorème que nous allons établir, ou plutôt encore la suivante qui possède le caractère résultant de la quatrième combinaison possible des deux signes dans le second membre, savoir :

<ç>(j--4-2K) =-f-ç(x), ç(a:-+-2iK') = -f-ç(x).

En désignant par F{x) et F«(x) des polynômes respectivement de degré n ei n — 2, f (-p) sera représenté de celle manière, savoir :

s désignant inditTéremment sin am j;, cosamx, ou A am x. Mais, soil pour fixer les idées, z = sinamx, et afin de mettre en évi-

THÉORIK DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. l83

dence dans cp(^) le numérateur et le dénominateur, employons l'expression 3 = -— ^ "' > qui conduira évidemment au dénomii:^ateur 6^'*(x), de sorte qu'on pourra écrire

Cela posé, ayant

V ^ relation

e«''(a?-+-2£K') = eî«(ir)e '" k <'"*"'^'^^

<l>(ar) = «p(ar)e"»(ar)

^=lonne immédiatement, en ayant égard à ce que cp(j?) admet les (=>ériodes 2K, 2 eK', ces deux conditions

^ '> ' ,„gF,.^,M',

^)r on peut satisfaire à ces relations, et de la manière la plus gésiérale, en n'employant, bien entendu, que des expressions entières, si l'on fait, en désignant par A un facteur constant,

4>(a:) = AH(ar — «1 ) H(ar - a,). . . H(x - a,„).

Effectivement, on vérifiera, à Faide des équations

H(a? — a-+--iK) =— H(a? — a),

qu'il suffit pour cela de poser la condition

a, H- «j -+-... -4- %in =0.

Les quantités a,, aj, ..., '^2n-\ restent donc arbitraires, ainsi que le facteur constant A, et il est aisé d'établir que la fonction entière, la plus générale qui satisfait aux relations (1), ne contient pareillement que àh. constantes arbitraires.

Soit, en eflet.

'^=-^- ITTX

*(^)= y] Ufne^i^

l84 OEUVRES DE CHARLES HERMITB.

OU plutôt

m* iizjt'

la seconde des relations (i) donnera la condition

ce qui ne laisse subsister dans l'expression de ^{x) que le^^ 2 n constantes ao , « i . . . . , ci^n- 1 • Nous pouvons ainsi poser

et cette équation remarquable aura également lieu en prenanC:pour ©(^r) la fonction déduite de

en faisant z = cosam.r et 5 = Aamx.

Maintenant, une analyse toute semblable donnera, à l'égard des trois fonctions o« (j^), «p2(-p), o^{x)^ les théorèmes suivants, où A,, Aa, A3 désignent des constantes, savoir :

At Ht ( j- — g, ) Ht (j- — g» ). . . Ht (37 — a«n-n)

^ ^ • A3e(j- — a,)e(j'— a,)...e(ar— ai„^,)

^'^^^= e*-Hx; '

et l'on aura encore entre les quantités a la relation ai -r- 2, -+- . . . -+-aj„^, = o.

('/est dans la conséquence que nous allons en déduire que consisle, à proprement parler, le ihéorème d'Abel.

Nous partirons à cet effet des équations relatives à o{x) et îpi {x) où ligure la fonction W{x) qui s'annule avec x et met ainsi i^w évidence les racines des équations c5(j7)=o, ©|(j?) = o. En particulier, considérons la fonction ^(^), où trois cas différents

THÉORIE OES FONCTIONS ELLIPTIQUES. r85

*^ présentent et correspondent à

z = sinani.r, z = cosamx, z = Àam:r.

Les poljnoines F et F| introduisant a n constantes, on pourra, ^yant pris égal à Tunité le coefficient de 5'^", déterminer les 2 /? — i autres coefficients par les équations du premier degré

Cela fait, la relation (1) nous montre qu'on aura encore ©(or) = o pourjr = a2„, c'est-à-dire d'après la condition posée entre les

quantités a

^ = — ( 2i H- «ï -h . . . -+- a,«, ). Or le produit

fF(..)+g,F.(,.)][F(..)-g.F.(..)]

donne dans les trois cas que nous avons à considérer un polynôme entier de degré ^n et ne renfermant que des puissances paires de 5, car on a successivement pour

«=sinamâ: ( ;7~ ) — (' — -»*) (i — A:*-s*),

<« = cosam.r ( ;7" j = (i — i*) (A'* -H A-*«*),

ûans le premier, ce polynôme, décomposé en facteurs, sera donc

(«*— sin*amai)(^« — sin^amaj)- • .(2*— sin^amajj,, -t) X [««— sin«am(a, -h «j -4-. . .-4- aj«, )],

dans le second

(«* — ces* am ai) (5* — cos^amaj). . .(^* — cos*ainaj„i ) X [-«* — cos'am («i -+- aj -h . . . -+- aj,,-, )],

et enfin dans le troisième

(«* — A* amai )(<3>— A*amaj). . .(«*— A*aniat„i) X [«* — A^am^a, -r-a, -h., .-t-aj^-i )J.

l86 OEUVRES DE CHARLES HEHMITB.

Les identités que nous venons ainsi d^établir donnent un résultat important lorsqu'on y fait 2=0. Si l'on désigne en effet, suivant les trois cas, par L, M, N le terme qui ne contient pas s dans le polynôme F(3*), on obtiendra les relations

diL

sinam (ai +ais + ... +at„-i) = -r

cosain(ai -♦- «j -4- . . . -f- sjn-i) = Aam (a, -+- a,H-... -f- «,„,) =

sinamsi sinamas. . . sinamstn-i

cos am Xf cos am «« . . . cos am a«i,-i

diN

Aamai AamS].. . À amstn-i Des conclusions toutes pareilles seront données par la fonction

/ X c/ • • rfsinama? -, . , çp,( ar) = 8in lAtnx F(sin<am:r) h ^ /(sin'amâr),

où F et / introduisent 2/14-1 constantes arbitraires. En prenais- "^ encore égal à l'unité le coefficient de la puissance la plus élevé ^ dans F(«^) et déterminant les autres coefficients par les condition ^^

<Pi(ai) = o, «p,(«,) = o, ..., o,(a,,) = o, on aura

8in<ama?F*(sin>amâ7) — ( ^ j /«(sin* ama?)

= (sin'amjT — sin^aina|)(sin*ani2r — sin'amxs). . .(sin'ama? — sin^amam.. •

X [sin* ama: — sin* am («t •+■ ^t -H. • «-H ^tn )]•

Ce second théorème donnerait la valeur de sin« am ( 2, + at, -h . . . -h Xj^ ),

où figure un nombre pair d'arguments, mais le premier a l'avan-

tage de conduire en même temps à l'expression de

sin am ( a, H- at, -f- . . . -h a,«.-i ),

cos am ( Xt -H aj -H . . . -H Xj„i ),

A am ( Xt -4- aj -+- . . . -I- a,„| >,

OÙ il importe peu que le nombre des arguments soit impair, car rien n'empêche d'en supposer un égal à zéro. Une dernière conséquence à cet égard nous reste encore à établir. Observons que les

équations

çp(ai) = o, ïp(a,) = o, ..., ç(a,n-i) = o,

OU, pour abréger,

déterminent pour les coefficients de F et F, des fonctions rationnelles, dans le premier cas, pour z = sin amo:, de

ds'in amx/ sinams/ et -j = ces ama/Àama/;

dans le second, pour z = cos amar, de

d cos am a.-

cosamx/ et -; = — sin ama/ A ama,-;

aoLt

dans le troisième enfin, pour z = Aama/, de

dlBmoLi ,, .

Aams/ et — -j = -^ A:* sin ama/cos ama/.

aoLi

Telle ^sera donc la forme des quantités que nous avons tout à l'heure désignées par L, M, N, et, par suite, des valeurs ellesmêmes de

sin ain(ai -4- aj -h . . . h- OLf^-t),

cosam(a,H-a2 + **-+ «în-i), A am ( atj -f- a, -h . . . H- 2j«-i ).

Quant au double signe, il suffira, pour le déterminer, d'un cas particulier; nous allons en donner un exemple.