II. — Formules pour l'addition de deux arguments
Nous appliquerons les théorèmes précédents au cas de trois arguments ai, a2 et aj, en supposant le dernier égal à zéro, et nous prendrons
dz
r^(x) = {z^ -\-az^-^ b)-^cz -7-"
On remarquera alors que, dans le cas de 2 ^ sinamx, Féqua-
tion fondamentale a cette forme
(-8* -+- az* ■+- 6)* — c*z^ (zr ) = ^"( 5* — sin^amoEi) (z« — sin'amit)
X [z« — sin*am(at-4-as)],
de sorte qu'on doit déjà poser h = o. Si l'on supprime dans les deux membres le facteur z^, et qu'on fasse ensuite z = o, on obtiendra
sin anî(ai -i- a.) = -: : •
sin amxi sin amots
Gela posé, les équations ©(ai ) :=o, ©(aj) = o deviennent
sin' amai + a sin ainai -!- c cos amS] Aamai = o,
sin' am 2] + a «in am a* -h c cos am x^ À am a« = o, d'où
c sinj am ati — sin* am xj
sin amai sin ama^ sinamai cos amoisAamzi — sin amsi cos amai Aamii
valeur qui se réduit à sin ^ma] pour 0L2 = o, de sorte qu'on doit prendre dans la formule le signe supérieur. Il vient ainsi, en multipliant les deux termes de la fraction par
sin ami2{ cos ainaj A amaj -4- sin amat cos amai Aamsi,
et supprimant haut et bas le facteur sin*'' amai — sin' ama^,
sin am si cos am a* A aiii a« -+- sin am oLt cos am «i A am Si
sin am ( «1 -h a, ) =^ .. . ^ ^^
I — A* «m* amai sin* amotj
Dans les autres cas où z = cos am x et z = Aamj:, Téquation
z^ ^ az' -h o ^ cz i- =0 ax
admet la racine ^ = 1 qui répond au troisième argument supposé nul. On doit donc faire
z^ -r- az* -h 6 = ( z* — i) (5* -t- m),
ce qui conduit, pour z = cosamj:, aux équations
cos amai AamS)
cos* am ai -h m H- c : = o,
sin ama{
cos ama2 Aama^
cos* ama« -h m -h c : = o,
stn amaj
THÉORIE DBS PONCTIONS ELLIPTIQUES. 189
et à la valeur
CCS am(at -f- a») =
cos amai ces amx]
de.iïiême pour 2 = A amx^ on a les relations toutes semblables
cos amati Aamxi
A' amai H- m H- c : =0,
sinamxi
cos aniS) Aam2«
A' amaj -f- m H- c : = o,
sin amxs
±m A am(ai -f- ocj) =
Aamai Aarnss
Un calcul, entièrement analogue à celui qui concerne le sinus, clos:ft>Be les formules suivantes :
cos a m ai cos a m 2* — sin amxi sin amx* Aamxi Aamac*
^ 1 — A*' sin* amxi sin< am22
Aamx, Aarna, — A*' sin amxt sin am a« cos amai cos ama*
A. am(ï, -f- et,) = î î ., . . — :—r^ ■ — ■ -•
i — A'^ sin< am Xi sm* amx,
■L.es trois formules que nous venons de déduire du théorème d'Aiel sont nommées à juste titre fondamentales, car elles suffisent pour déterminer complètement les fonctions
sinamjT, cosamx, Aamr.
^^ f>eut voir dans les premiers Mémoires d'Abel, et postérieure- 'ûeiit, dans les Travaux de Gudermann('), l'un des meilleurs auteurs qui Paient écrit sur la théorie des fonctions elliptiques, comment eues donnent la double périodicité, puis les expressions de s'in am(nx)^ cosain(/u:), Aani(/i:r;,
^" ^^ est un nombre entier quelconque, d'où l'on déduit, en rem-
P'^^sintar par—» et passant à la limite pour n infini, les expres-
^'^■^ s analytiques sous forme de quotients des séries 6 et H. Nous y
J^**^clrons les suivantes, qui s'en déduisent immédiatement, savoir :
sin * . sinamaicosaiiias Aam x* — sin amascosamai Aamai
"«^inCai— a,) = ^- ,
I — A'' sin< arasi sm< ams]
co& 2^ cos ara 2] cos amas -^ sin amai sin ainscs A am^i Aama,
I — A:* sin' amxt sin' amaj
^ Aamai Aamx,-i- A-*sinamxisin ama, cos amat cosamaj
* I — A:* sin* amsi sin amaj
) Voir Journal de Crelle, t. 16, 17, 18, 19, 20, 21, 23, 25 et 41.
igo OBUVHES DE CHARLES HERMITE.
Par voie d'addition et de soustraction on en conclut
'2 sin am 2i cos am «t À am 2i
sin am (ai -h a,) -+- sin am (ai — «j) = .. . ^ r-z i
2 cos amai cos ama« cos ain(a| -♦-«,) -h cos am(ai — ai) =
Aain(«i-4-at)-»- A am(at — «») =
I — k^ sin' am ai sin* am sj
2 A amzf À amx} I — k^ sin> am Xi sin* am Ss
2Sin amas cosamsi Aamai
sinam(ai+at)— sin am(a, — a,)= ,. . ^ t-z *
I — A:< sin* amai sin' amas
2sin amai sin amas Àainsi Aama*
cosam(a, — a,)— cosam(a|-f-a,)= ■ ..-^.^^^ ,;»so».^ '
I — A:' sin' am ai sin* am as
2/:* sin a mai sin amas cos amsi cos amas
Aam^as — a,)— Aara(a|-+-a,)= .. . ^ :— ; —
I — A:* sin* am ai sin* amas
Les trois dernières équations, en faisant
«1 ■+-«!= a*, ai— as = a,
conduisent à déterminer toutes les valeurs de x, qui donnent
sin amx = sin ama,
cos ama* = cos am a,
A am j* = A ama.
Ainsi, dans le premier cas, on reconnaît que toutes les solutions sont données par celles des équations
sin am = o ou ao,
X ^- a cos am — = o,
A am = o.
On en conclut immédiatement, d'après les formules données pajçr \\S pour les racines des équations
H(r) = o, H(r)=-.o, ei(x) = o, H,(a-) = o,
qu'on a
I x= rt -h 4 /wK -+- 2/n'£K',
iU m^nH% pour
cos amj* = cos am^i.
orE obtiendrait
ou plus simplement
a: = ±:a-+-îi/w(KH- ÎK') H- 4m'iK', et pour
Aam.r = A ama,
a? = dba-h2mK-h 4''i'«K'.
Dans ces formules m et /w' désignent des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs.
Les formules pour l'addition de deux arguments donneraient
lieu st beaucoup d'autres remarques; je me bornerai ici aux ré-
:»ultatâ relatifs à la duplication et aux valeurs que prennent les trois
fonctions lorsqu'on suppose l'argument égal à une demi-période.
Les premières découlent des formules fondamentales, qui donnent
'mniëdiatement
*2 sin amx ces ama Aamx stn am22 =
cos amaa =
A smxoL =
I — k* sin* ama
I — 1 sin* am a -♦- A:* sin* ama I — X:>sin^ama *
I — 2 A:* sin* ama -h A:' sin* ama
i — k^ sin* ama et l on ^n déduit les valeurs suivantes, qu'a données Gudermann :
IK I , . ÎK' i sin am — = . , sin am = -7=^
•2 y/TTk' \ 2 s/k
! K y/A:' *K' y/TTl
{ cos am — = . > i cos am = — -zz — »
'A /TTT' ^ y/k
Km 1 . *K'
Aam — rsy^; ( A am = /i -h A:;
19^ UEUVRES DK CHARLBS HKMMITE.
et
/K±:tK'\ /"F
osan.(— j— j=(.qr.)y/^,
llf. — De la multiplication des arguments.
Ce point important de la théorie des fonctions elliptiques est intimement lié à la théorie de la transformation, dont nous ne nou ^ occuperons pas ici, que nous devons nous borner à rindicatioi d'un petit nombre de résultats.
En premier lieu, soit n un nombre pair, et posons
m = — , on aura
sinam T-H .\'sin'amjr-i-...-h H'5in*'«-'amjr
sin am(/iir)= ncosainxAam j: r — :-- ., . ^
I — Asin*ainjr -f.. .-h H sin*"* amj-
^ I -4- Ai cos-aïujr -K, . .-+- h; cos2'« amx
(— I)* cosaiiK/w; = r-î :; ^ ,
I — Al cos- ainj- — . . . — Hi cos*'" am j"
7 , I -+- \; Aî aiiir — ...— h; a*'" amx (— I)' A am( /ix ) = -^ — rr-TZ '
Soit, en second lieu, n impair et faisons
SU) amx — a sin' ain.r -h. . .-i- /r sin*'""»-* amx
vin anu nx) = n -, ,
I — a siii- aiii.r —...— /* sin-'" amx
cos amx — a\ cos* amx --t-.,,^- /l'cos*"*-"* amx
cos am(/ix) = /i 4 ,
I — a, co>* amx — . . .-r- A| cos*"» amx
A amx — a\ A* amx -;-. . .-h Al A'"*-^* amx
A am ( /ix ) = n =- — \
