I -^ </s A* am X -t- . . . -I- /ij A-'" amx

Tous les coefficients dans ces» diverses formules sont des fonc-

lions rationnelles et entières de Ar^, et Jacobi a donné pour leur détermination, dans le cas où n est impair, le théorème suivant :

Soient

sim ama? = — -T. sin am(/w7) = -7- et U = 77-»

P p^ Q étant des polynômes entiers en w; si Von fait

ces deux polynômes satisferont à C équation linéaire aux différences partielles que voici :

dz u^(n^ — I ) w» ^ -h ( n» — i)(oLu — lu^) -j-

au

d^z dz

Sur les intégrales de seconde et de troisième espèce.

On y est amené par la considération de l'intégrale

/ F(sinainj", cosamir, lamx)dûr,

où F désigne une fonction rationnelle quelconque, et qui va maintenant nous occuper.

Soit, comme précédemment,

u = sin ain:r, V = cos am j?, w = Aamx.

On reconnaîtra d'abord qu'elle peut être réduite à la forme

où A, B, C, D sont des fonctions rationnelles de la quantité u. Il en résulte que la première partie

A dx H. - II. i3

194 uei'VRKS DE CHARLRS HRRMITB.

demande seule un examen attentif, car, à l'égard des deux sui

vantes, l'intégration s'effectuera par les règles relatives aux radi

eaux carrés du second degré, en prenant u pour variable indé

pendante, et la dernière se trouvera même ainsi ramenée auik^^n fonctions rationnelles. C'est donc seulement dans rexpressioiEm^

/ Kfix que l'on peut s'attendre à voir résulter de l'intégration de^ -:$

fonctions nouvelles, et que les considérations suivantes vont mettrei^e effectivement en évidence.

Soit

ç et ^ désignant des polynômes entiers; en multipliant partj/(— ii ^=) les deux termes de la fraction et faisant

ç(i/) <K— U) = 4>( i/«) H- u ♦|(a«), on décomposera l'intégrale proposée dans les deux suivantes :

dont la seconde se ramène encore aux radicaux du second degré. » puisqu'en faisant //^ = t elle devient

vAi — 0(i— A*o

Il y a donc seulement lieu de s\)C(*uper de la première, qu'on fera

dépendre, en décomposant en fractions simples 1—^» de terme tels que

ou hien

r u^" tUi r (tu

J /( I - "* H I — X - M^ ) , / (I — a M* )/' ^{\ - M*) n — A:*mM

el ees lermes .sont eux-mêmes réductibles, comme on va voir, aux ca> les plus siuiples de // = i , /> = i .

THÉORIB DK8 PONCTIONS KLLIPTIQUB8. IQS

Partons en premier lieu de la relation

du'*^ / ;

-- = mw"»-i v^(i — a*)(i— .A:«a«),

qui différentiée donnera

dx-^

= m ( m — I ) a"»-* — /n* ( i -h A-* } m"» -h aw ( m -h i ) A:* w"»-^*.

în intégrant par rapport à x les deux membres de cette équation, )n trouvera celte formule de réduction

^— =zm(m—i) / a'«-*^ — m*(n-A:*) l u"'dx'^m(m-^\)k^ j W^-^-^dXy

qui montre comment de proche en proche on ramènera l'intégrale proposée où m = 2 /i, aux seuls cas de /2 == o, /i = i .

Le premier donne un terme proportionnel à la variable, et c'est le second qui conduit à un nouvel élément analytique, dans la théorie des fonctions elliptiques.

En introduisant comme facteur constant le carré du module, nous poserons

Z(x) = I A"' sin* am j:<ir,

ce sera ce que Ton nomme et ce que nous appellerons dorénavant la fonction de seconde espèce.

Partons en second lieu de la relation

. ,J\-^k^ 3A«\ r dx

. ^« r dx

qu'on trouvera identique par la différentiation. Il est clair que, de proche en proche, elle fait dépendre le cas le plus général des trois suivants où Ton suppose /? = — i,/? = o,/?=i.Le premier nous ramène à la fonction de seconde espèce, le second donne un terme

proportionnel à la variable : c'est donc seulement le dernier qi met encore en évidence une fonction nouvelle, que nous étudit rons sous la forme

l — OLU*

au lieu de

r €ix

J l—OLU*'

En faisant

OL = k* sin* ama,

A = — T- A'* sin ama cos ama Àama, 2 da

nous poserons

'*" k^ sin ama cos ama Àam a sin* amx.dx

I — A:* sin» ama sin'ani^r

et cette expression sera désormais pour nous la fonction de troisième espèce.

I. — Expression par ^{x) des inié^^rales de seconde et de troisième espèce.

Nous avons précédemment établi la relation suivante :

Sin ama7(sin' amx-\- \) -H o z = d -— ,

dx B* ( iT )

on les coefficients A et B s'expriment par ai et a2 en posant

, . - AND ^s*" ama,

sin am ai (sin* ama, H- A) 4- B -j =0,

aoLi

. . 4 , D rfsinama,

sin amas (sin* amasH- A) -f- B ^ = o.

aaj

Soit

et, par suite,

aj = o ;

d'après la condition

on trouvera

B = o. A= — sin* ama,

el, par conséquent,

sinain:r(sin> amx — sin> ama) = G — ^ —---. — ^^ — ->

Déterminant C en faisant ^ = 0, il viendra enfin

e»(o)H(ar-ha)H(ar — a)

sin' am^r — sin' ama =

A:e*(jr)e«(a)

Cette relation importante prend, si Ton change a en a + i¥J ^ celte nouvelle forme

I — A:* sin* ama sin« ama? = — -rr— — , ,^,, -y

à laquelle on parviendrait encore d'une autre manière en employant l'identité

I H{x -\- a)\li X — a) . , . ,

T TTi T-; : = sin am(a: H- a)sin am(a? — a)

sin* ama: — sin* ama

~ I — A:* sin' ama sin* ama?

EUle donne, en prenant les logarithmes de deux membres,

log(i — A:*sin* ama sin* ama?) = log6»(o) -4- log0(a?-+- a)

-h loge(ar — a)— «îlogeCa?) — !2log8(a),

et de là on tire immédiatement, en différentiant par rapport à a et en intégrant ensuite par rapport à x^

k^ sin ama ces ama A ama sin* ^mxdx

I — A:* sin* ama sin' ama?

tJ(a) '1 o(ar-+-a)

c'est l'expression analytique découverte par Jacobi de la fonction de troisième espèce. En divisant par^ et supposant ensuite a = o, on en déduit

k^ sin* ikmxdx = Z(x) = l^x — ■

e(a-) où l'on a posé

^ . . . ^k .. 0 . lit ^

I — -y.Ç -»- •/ çr» — A ^» 4- '2 ^'

c'est l'expression donnée également par Jacobi de la fonction seconde espèce et qui va nous conduire aisément à ses propriéi fondamentales.