II. — De la fonction Z{x

La première de ces propriétés est de n'avoir qu'une seule unique détermination pour toute valeur réelle ou imaginaire de variable. C'est aussi ce qui résulte directement de la considératic de l'intégrale

k^ sin< am z dz.

En effet, pour Tune quelconque des racines de l'équation

savoir

le résidu correspondant de A** sin' am 3, c'est-à-dire le coefficient de - dans

A"* sin«amr2/nK -4- (2/w'-+- i) «K'-h t) = -:—: >

•^ ^ ^ sin'ams

s'évanouit, car sin* ame ne contient que des puissances paires de e dans son développement. L'intégration, quel que soit le chemin décrit par la variable >3, ne donnera donc qu'une seule et unique détermination. Nous pouvons ainsi poser sans aucune ambiguïté^ en adoptant les dénominations de M. Welerstrass,

J = / k^ s'in^ am xdx^

am xdx.

Ces quantités se nomment /es fonctions complètes de seconde espèce et sont liées à K et K' fonctions complètes de première es-

pèce par la relation que nous avons déjà mentionnée

KJ'-K'J = -

et que nous allons maintenant démontrer. A cet effet, faisons successivement

dans Féquation fondamentale

La première substitution donnera tout d'abord

car on a

Pour la seconde, nous partirons de la relation donnée page i43 :

et d'où Ton tire

loge, (2- -+- tK') = logH,(ar) — ^ ( 23? -h * K').

En différentiant par rapport à x, on en déduit

jK') n\{x) __ 17

e,(a7-+-tK') H, (a?) 2K

^Maintenant, si Ton fait :z: = o, la dérivée de la fonction paire H| {x) s'évanouissant, il viendra

e,(tK') "■ e(K-+-«K') ■" 2K* On en conclut

Z(K-+-tK') = j;(K-+-/K')H- -1 et, par conséquent,

Z(K + tK')-Z(K) r.

ce qui donne la relation annoncée en remplaçant s par rr-

OKUVRES DE CHARLES UERMITB.

Ces quantités J et J', lorsqu'on suppose le module k réel ^ moindre que l'unité, s'expriment parles intégrales rectilignes

k^T^dx

\/{x* — \){\ — k*x^) et l'on a, comme pour K et K', ces deux séries :

J' = Jlojf| + i-(J-J.)-^(3-J.)^5^(3-J,) — . en faisant

2 4\'^/ -2/1 — •! Va. 4. ..91/1 — 4/

Voici maintenant la propriété de la fonction de seconde espèce qu'on doit regarder comme caractéristique et qui justifie son introduction à titre de nouvel élément analytique dans la théorie des fonctions elliptiques; elle consiste dans les relations

Z{x-\-iK) =Z(:r)-+-2J.

Z(ar-|--itK') = Z{x)-^'iiy,

Ces relations, qui découlent immédiatement des équations fondamentales

^(x-^'xK) =e(.r),

' it • I....

en en prenant les dérivées logarithmiques, donnent en effet la notion d'un nouveau genre de fonctions qui, étant uniformes, se reproduisent avec l'addition d'une constante lorsqu'on augmente l'argument des quantités 2K et 2/K'. Plus tard, on verra le rôle et l'importance de ce caractère qui n'est plus la double périodicité, mais qui s'y rattache d'une manière étroite.

On y parviendrait d'ailleurs encore autrenienl, en partant de 'équation

Z(j' -H a) = Z(a") -H Z(a) -+- A* sin ama- sin ama sin ani(a^ -+- a),

:'est-à-dire du ihéorùine de Taddition des arguments dans la foncîon de seconde espèce, que Jacobi démontre comme il suit : Différentions, par rapport à x, Téquation

1 viendra

:* sin amer ces aina Aam^<iin*anij: H'Ca) i ki'(x — a) i i)' (x -h a)

i — A* sin* ama sin^ aina^ H(<?; ?. 6 ( a* — a) '>. 6(jr-ha)

l'où, en permutant x et a,

= — Z{a) ■+- -Zix -ir a) Zix — a),

r< sin amarcosanix A aiiiar sin^ama ^, i^, . i »,,

, ■ . . r-; = — Z(a?)-+-- Z(a:-f-rt)-h-Z(a? — a);

I — A:* sin*amûf sm* aiua: 2 i

Dr ces relations, ajoutées membre à membre, donnent

A-'sin ama-sin ama sinam(r -+- a) = Z(a? -h a) — Z(ar) — Z(a).