III

(VI) Jl±^)^^Jl^e-T^'r

Nous rappellerons encore cette propriété fondamentale, qu'en désignant par n un nombre premier et posant

V = o(nw), u = «p(ci)),

i' et M sont liés par une équation de degré /i + i , qui présente ainsi un type nouveau d'équations algébriques dont les racines se séparent analytiquement par l'introduction d'une nouvelle variable. En désignant, en effet, par e un nombre qui soit i ou — i , suivant que 2 est résidu ou non-résidu quadratique par rapport à /i, les n -h I racines u seront

, , / w -^ 1 6 /Il \

£ç(/ito) et ç( j>

m étant un nombre entier pris suivant le module /i (*). Mais, sans insister ici sur les autres propriétés remarquables des équations modulaires, je m'attacherai seulement au fait si important annoncé par Galois, et qui consiste en ce qu'elles sont susceptibles d'un

(') La déterminalion de e a clé donnée par M. Sohnkc dans un excellent travail public dans le Tome 16 du Journal de Crelle sous le titre : jEquationes modulares pro transformatione functionum ellipticarum.

lO (lELVRKS DK CHARLES HERMITK.

abaissement au degré inférieur d'une unité dans les cas de

n — '}, /i = 7 et n = II.

Bien que nous ne possédions que quelques fragments de ses travaux sur cette question, il n'est pas difficile, en suivant la voie qu'il a ouverte, de retrouver la démonstration de cette belle proposition; mais on n'arrive ainsi qu'à s'assurer de la possibilité de la réduction, et une lacune importante restait à remplir pour pousser la question jusqu'à son dernier terme (*). Après des tentatives qui remontent à une époque déjà éloignée, j'ai trouvé que dans le cas de l'équation modulaire du sixième degré

on y parvenait aisément en considérant la fonction suivante :

Efrectivemcnt, les quantités

<l>(w), *(to-hi6), <ï»(to-+-2.i6), <ï»(to-h3.i6), *(w-h4.i6)

sont les racines d'une équation du cinquième degré dont les coefficients contiennent rationnellement o(w), savoir :

*5— jt^. 5^ <l><p»( w )<};»«( to) — l'i /5*?'*(^«>)'l'**(w) l» -+-?•!«*>)] = o.

Or on voit qu'on ramène cette équation à celle de M. Jerrard en faisant simplement

car il vient par là

•/ i-h9*Cto)

(*) Postérieurement à mes premières recherches restées inédites, mais dont les résultats avaient été annoncés {Œuvres de Jacobi, t. Il, p. 349)« ^^ géomètre italien distingué, M. Betti, a publié un travail sur le môme sujet dans les Annales de M. Tortolini.

nksOLUTION DR l'ÉQUATION du CINQUlÈMIi DËGHÉ. II

Donc, il ne restera plus, pour arriver à l'expression des racines de Téquation

par la fonction ^(co), qu'à déterminer w ou plutôt «p((i)) parla condition suivante :

Soit, pour simplifier,

et prenons pour inconnue ®*(w) ou le module k lui-même de l'intégrale elliptique; on parviendra à une équation du quatrième

degré •

A:* -4- AU» H- xk^ — A» A: -M = o,

qui est susceptible d'une solution analytique sous le point de vue précisément où nous sommes placé en ce moment, car, en faisant

on trouvera ces expressions dea racines

, a a-f-'iTC r — a 'iic — a

A: = lang--» taiig , taiij: — - — , tang •

Faisant choix de Tune d'elles pour module, afin d'en déduire la valeur correspondante de w, on aura, pour les racines de l'équation de M. Jerrard, ces valeurs de x

I <l>(a)) I 4»(to-+-i6) I <l>((u-i- 2.i6)

t/I<^ «p(u>)4;Mw)' )/iy^^ o(w)4/*(w)' y/^Ç^ <p(w)<!;*(a)) '

I <l>(oj-+- 3.16} I *(wH-4.i6)

C'est donc la résolution de l'équation, en tant que les racines se trouvent représentées séparément par des fonctions uniformes. Quant au calcul numérique, la convergence extraordinaire des séries qui figurent au numérateur et au dénominateur de «p(w) le rendra très court, même dans le cas où q sera imaginaire, car on

sait que son module peut toujours être abaissé au-dessous de la

limite e ^* = o,o658. On peut aussi faire le développement suivant les puissances ascendantes de 9, ce qui donne, en posant pour

simplifier gr* = q,

*(co) = /Iir5 v^q»(i-4-q — q*-+-q» — 8q» — gq» -h 8q' — gq» -h.. .)»

et Ton trouverait, pour le carré et le cube de ^(co),

i>ï(co) = 2»5 yq»(i -h 2q — q* -h 3q^ — i8q* — 33q« -4- i4q' -+-..)» *»(ci)) = v/2»5» v^(i -f- 3 q — 2q»-T-6q* — 24q* — 7gq' -+-...)•

La première des séries entre parenthèses manque des puissances de q dont l'exposant est ^ 4? "^od 5? 1^ deuxième et la troisième des puissances dont les exposants sont respectivement ^ ^ 3 et ^ 2, mod 5. D'ailleurs le changement de w en co-l- i6/n reviendra à multiplier la quantité q par les diverses racines cinquièmes de Tunité.

J'observerai enfin que le système des cinq fonctions^(«o-|-i6/iî)

possède, par rapport aux substitutions r— qui appartiennent à

<J» ( (ij -+- 1 6 m ) = */„ ( w ),

on trouvera, par exemple,

<!>,;,( W -f- >. a ) = *,;n-Ja (<•>)« * »

*m ( ) = *4«M-m-»-trtm»-i-3a»//i» ( W ) ;

V I -r- '2aro /

l'indice du troisième degré en m étant pris suivant le module 5.

Dans l'une des prochaines séances, j'aurai l'honneur de présenter à l'Académie les résultats analogues aux précédents et auxquels je suis parvenu, pour la réduction de l'équation modulaire du huitième degré au septième et de l'équation modulaire du douzième degré au onzième.