LETTRE DE CHARLES HERMITE A M. JULES TANNERY
SUR LES FONCTIONS MODULAIRES o.
« Saint-Jcaa-de-Luz, villa Bel-air, 24 septembre 1900.
» Mon cher ami,
» Je viens dégager ma parole et m'acquitter bien tardivement, il me faut l'avouer, de ma promesse de vous démontrer les formules
concernant les quantités o( ^, j données dons mon ancien article Sur Inéquation du cinquième degré.
» Le bon air de la mer m'a aidé à surmonter la torpeur qui faisait obstacle à mon travail; j'en profite pour échapper aux remords de ma conscience, et, en pensant que vous avez sous les yeux cet article, j'aborde comme il suit la question.
» Mon point de départ se trouve dans les formules de la page 2 et de la page 3, qui donnent les expressions de ^k et de y/A' comme fonctions uniformes de q, ou plutôt de w, en posant o>= -rr-» et, parmi ces formuler d'une extrême importance dont la découverte est due à Jacobi, j'envisagerai pour mon objet la suivante, à savoir :
(») Nous reproduisons une Leltre d'Hermite à M. Jules Tanncry, où se trouve la démonslraiion des formules seulement énoncées dans rarliclc qui précède sur l'équation du cinquième degré. Celte Leltre a déjà été publiée par MM. Tanncry et Molk dans leur Traité sur la théorie des fonctions elliptiques, en intercalant quelques explications complémentaires avec renvois à certaines parties du Traité. Nous donnons ici le texte même de la Lettre d'Hermite que M. Tanncry a bien voulu nous communiquer, en corrigeant seulement de légères inadvertances.
l4 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
» J'y Introduirai tout d'abord la quantité is)^ en me ser\ant, au lieu des fonctions 0, H, . . , de la série
(/i = o, zhi, z±= -2, ...)
[voir mon article Sur quelques formules relatives à la transformation des fonctions elliptiques {Journ. de Liouville, 1 858)], et j'écrirai
OU plus simplement
J'ai posé, comme vous sa^ez, on aura donc
\a -hlfioj ~ / c — dm
Dans cette égalité, a, 6, c, d désignent des entiers assujettis à la condition aâf — bc=^ i ; je ferai la supposition qu'ils appartiennent au premier cas (page 4), où 6 et c sont pairs, a et rf impairs, et je
ferai
6 = 2 6', 'ic — c' \ nous aurons ainsi
Oo,i ( T, — 1
et, comme nous conservons la condition ad — b'c' = i, la question se trouve ramenée à celle qui concerne la transformation de la fonction 0^,v(^)- Dans l'article cité tout à l'heure, j'ai obtenu les résultats suivants, dont je vais maintenant faire usage.
» Soit en général, pour des valeurs quelconques de a, ù, c, rf,
jji, = a;A -h 6v -H (tù, V I — c |JL -h r/v -h cd.
^ — — (ac (I» -H î//r{jiV + /Wv -I- tahc a ^ ïa/«.V +■ ab\-,
LETTRE DE CHARLES HERHITE A M. JULES TANNERY. l5
puis, en supposant b positif,
v/— ib(a -h bui)
le signe de la racine carrée étant pris de manière que sa partie réelle soit positive. Nous aurons l'égalité
et nous en concluons, pour j? = o,
» La condition de b positif peut toujours s'obtenir en changeant, comme il est permis, le signe des quatre entiers a, 6, c, d. Cela étant, la somme S s'exprime comme il suit, au moyen du symbole ( r ) de la théorie des résidus quadratiques.
» Supposons que b soit pair. Je ferai 6= 2*64, 6| étant impair, et l'on aura, suivant que l'exposant k est pair ou impair.
ou bien
» Je vais faire, en entrant dans tous les détails du calcul, l'application de ces formules aux quantités
Oo.i ( 7- et Oo,i ( j-, .
\a-r-bu)/ ' \ rt H- 6 .9.10/
Je supposerai qu'on ait
a ^ I , b ==^0^ c ^ o, </ 55 I ( mocl a ).
Ce sera donc le premier des six cas qu'il faudra considérer; nous verrons bientôt que tous les autres s'en déduisent immédiatement. » Soient d'abord a = o, v =: i. Des deux nombres
jjL, = ^ -f- aby V, = d -^ cdy
l6 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
le premier est pair, et même muUipie de 4i le second est impair. Ayant donc en général
OîjjL,îv-«-i(^, w) = (— i)l*eo,i(a?, ti>), nous en concluons Tégalité
» J'ajoute qu'on peut mettre sous une forme plus simple la quantité
- ^ (Arf-Hîa M-hab*c) Ù = e *
qui entre dans la valeur du facteur
y/ — ih{a -t- bu) )
Des hypothèses faites sur les entiers a, 6, c, d résulte, en effet, la
congruence
bd-h lÀCtbd -h ab^c^ — bd (modS),
ce qui permet d'écrire
% -rotl
» !^i nous passons ensuite a la quantité ^0,1 ( tt )' ou
b' =z ^ et c' = 2c remplacent 6 et c, a et rf ne changeant pas, on a
jjL, = ô'h- ab\ V, = <i -h c'd;
le premier de ces deux nombres est encore pair et le second impair, mais [JL, n'est pas nécessairement divisible par 4, et, par conséquent, on a l'égalité
OÙ T' représente ce que devient, dans ce second cas, le facteur T. » Désignons aussi par 3' et S' les nouvelles valeurs de 8 et de S ;
on aura
rr, S'a'
yj — ib'{a -r- b'.ita)
LETTRE DE CHARLES HERMITE A M. JULES TANNERY. i;
c'esl-à-dire
\J— ^ib{a H- 6(1)) et nous en concluons
» Je m'arrêterai à celte formule, et je remarquerai en premier lieu que, en passant de S à S', le nombre b est remplacé par -• 11 en résulte que, ayant posé 6= îi*é|, l'exposant k varie de l'une à l'autre d'une unité. Cela étant, la comparaison des valeurs de S et de S' nous donne l'égalité
d'où résulte
» Ceci posé, écrivons le fa'^teur ( — i) ' sous la forme e^ et employons l'expression de 8', à savoir :
- ^ kb'd ^\ab'd-¥ab'*c') - *^\bd-\-\abd-^ab*c)
if ,«•-.)
ù'-¥-tlb'
V '•^la*^\^lbi.l-ha)-ibd-sabd-ab*c\
on aura ainsi
b'-¥-rtb'
» Or, on vérifie facilement la congruence suivante :
(A) 26(i-t-a) — Zbd—iabd — ab^c^ — ab (mod i6),
faisant, en effet, passer tous les termes dans un même membre et divisant par 6, qui est pair, elle peut s'écrire
2(1 — ad)-h^{a — d) — <ibc^o ( mod 8),
puis, d'après la condition ad — hc = \ ,
— 26c 4- 3 (a — d) — a{ad — i)=() (mod 8);
mais, 6 et c étant pairs et a impair, on a
ibc=zOy a' ^= I (mod 8);
elle deviendra donc simplement
^{a — d) = o (mod8), H. - II. 2
ce qui a lieu, en effet, a ei d étant impairs. Nous avons, en conséquence,
T' '4(a--ah-ï)
» Nous obtenons ensuite, au moyen de Texpression qui a été notre point de départ,
la relation fondamentale
, /C -H dia\ , ^ —(a*.
ab-X)
» On en tire les deux systèmes de formules concernant les fonctions Qp(w) et J'(w) pour tous les cas que présentent les entiers a, 6, c, rf, pris selon le module 2. Ces cas sont indiqués dans le Tableau suivant, que j'ai donné dans mon article Sur C Équation du cinquième degré :
» En premier lieu, je change, dans Péquation (1), w en et a^
A, c, d en b, — a, rf, — c; on trouve ainsi
