I. — Premièrt imélkode

Cest celle qu'indique natorellenient Féqaation ^ * •

0 ( -—— ) = A i— »q*:»y^xjr — 7-/ i — i^co*2X — q'*

X i — Mq*r.fr*f1X — q^* ,

En partant en effet du dé%eloppement connu

l05« I — iq CiJn^X — q^ . = q O04 2X — q^

on aura

- loçdj — i;^ I = eo**u — co*îx' -y — -y* —7* — ---'

♦ — «Jî /»2«

__ ^♦^yl. «^

ou bien

- loge I I = <imu. — ^ -^ î—

•2 r ^ I — ly- 2-1 — 7* «

7* rjr*!^rX 7* O*^^

On en conclut le* d^^jfîfi^rf»#»mU de* fonctions de deuxième et

(«) Ko^cs ï». I^I.

2l6 OEUVRES DE CHARLES IIERUITE.

de troisième espèce, d'après les relations

c'est-à-dire les formules suivantes :

q cos'à(x -ha) q^ cosJi(x -h a) y cosA(a^ — g) ^*cos4(a^ — a)

[^sin'^.asin!2rr ^^sin4asin4^ ^' sin6a sin6j? 1

et

K /iKx\ ÇK* /qs'inix' q^sin^x q* iin6x \

•2 7: \ -n / TT* \ I — ^* I — q^ i — 7« /

En diflerenliant par rapport à j: la dernière, on obtient encore

A-*K^ . . 'ï.}kx CK' /qcos'XT 2ûr*cos4^ 3<7'cos6ar \

-sin»am = ^ — (- j- ^ — 7- ^— 1 h... ).

2Tr* T, 27:' \ I — q^ 1 — q^ 1 — q^ /

Mais c'est à sinam:r, cosamj;, Aamx qu'il s'agit de parvenir, et le même procédé s'appliquerait, s'il était possible de les considérer comme les dérivées logarithmiques de fonctions décomposables en facteurs ainsi que %{x). Or, on a, en efl'et,

, . rfloe:(Aama? — Acosamj') Asinaina^=

ïAcosamx = t'A anij- =

dx d\oy^(ùk Aïiix -{- ik sin ama:)

di '

t/logCcob ^mx 4- e sin ama^)

THEORIE DES FONCTIONS ELL ll*TIQU ES . Iiy

ax les quantités sous le signe logarithmique s^cxprimcnt comme il ?^tiit :

^ am A' ces am

t: tz

(l — 2 )/q co%x -h q){i — '2 v^y' cosa? -I- ^')(i — 2 v/^* cosar + y*)... (n- 2 v^^r coso:-!- 5r)(n- 2 /^' cosar-+- </») (i -i- 2 ^q^ cosa' H- 7*)...

!>,Kar ., . 2K.r ^ am h ik sin am

^ (i — 2v/ — ^sina* — <7)(i — i^ — ^'sinar — ^*)(i — 'i^ — ^*sina? — 7*)--« (i-+-2v/ — qsinx — q){i-\-i^ — g' sin a? — ^•)(n-2v/ — ^*sina? — ^*)'"

2Ka? . . 2Kar cos am h i sin am

et/-r(i — y e-«/-r)(i — y3e«^'^) (i — y»e-»^-^). . . ^ "" {\— q c»'-*^) ( I — gr' e-»'*) ( I — y»e*'*). . . '

de sorte qu'un calcul tout semblable à celui qui a été fait précédemment conduit aux formules suivantes :

kK . iKx v^ûT sina? i/ô'sinSa: i/<7*sin5a?

sinam = ^^-^ h -2-2 ;— -+- ^ h...,