TZ I — q I — q^ I — q

XK 2Ka? v^cosa? \/<7'cos3a7 i/7*co»5ar

— cos am = ^-^ h .2-î ; h ^-^ 1 h . . . ,

2TC Tt H-7, 14-^' 14- 7*

K ^ '/Ka? I 7 cos 2 a? /7*cosiar flr'cofi(ia?

— A am = T -*- ^^ 7- -+- ' \ — ^- 2 — ^- • • • •

2 71 7c 4 i-i- ^* I -+- 7* IH- 7*

Quant aux expressions des quantités

A ama: — k co» am a/, A amar -f- lA'sin ama*, cos ama? + c sin amar,

dont nous venons de nous servir, nou» tioun boniifroiiH 11 rliiblir Tune d'elles, la même méthode s'appliquaiil aux MUlrifM, vX r'rnl la dernière que nous choisirons, les précédeulen mî trouvant (Ihiih Ii*h Fundamenta, car elles se tirent de l'équation (5), pa^iî H(), m y changeant pour la premirre x en ;^ — x vX pour hi hVA'uwAv. y v.n - y. A cet effet, soit pour un instant, commi; |»agiî i^o,

2l8 OEUVRES DE CHARLES HERMITB

l'expression qu'il s'agit de démontrer égale à

cos ama: -h i sin anriiF prendra cette forme

o(ar-i-iK')<p(— a?-f-3eK')ç{ar-+-5tK')... '

d'où l'on voit qu'on la ramènera déjà à avoir 6(^) pour dénominateur en multipliant les deux termes par

A<p(— a:4-tK')<p(iF-+-3tK')ç( — a?H-5tK')...,

A désignant une constante. Faisons donc

^(x) = \e^^ (p«(— ar-4-tK')«pï(a:-+-3tK')(p«(— ^-^-5*K')...,

on aura évidemment

*(a7H-2K) = — *(ar), et, en second lieu,

Or on satisfait de la manière la plus générale par des fonctions entières aux deux conditions

en prenant

^ix-^iiK') = ^(x)e K <-»' + 2'»^'»^

^(x) = CU(x) -^ CiHi(x), de sorte qu'on peut poser

e^K (^(— X -\- ÎK') <f(x -^ 3iK') o( — X -h 5iK') . . . <p( j- 4- iK') 9( — j: -H 3 iK') (p(ar -f- 5tK'). . .

= ■— = A cos amx h- e B sin sumx.

en désignant par A et B des constantes, qu'on déterminera par une liypothèse particulière. Soit par exemple ^ = o et x = K, on obtiendra immédiatement A= i, B= i, ce qui démontre notre formule.

A celle occasion, je remarquerai que la manière la plus générale (le salisfaire par des fondions cnlières aux condilions

( 4>(:jr.4-4K) =*(:r),

'4!E,^.-KV,-K')

^(x) = Xe(x ) -+- BH(x) -^ Cei(x) -h DHi(2:).

w' /ninr

la seconde de ces condilions conduira à poser

ce qui ne laisse bien subsisler que quatre conslanles arbitraires dans l'expression de 4>(j?).

H. — Des séries précédentes ordonnées suivant les puissances de q»

Ces développeinenls se sonl offerls d'eux-mêmes dans ce qui précède; ainsi, avanl d'effectuer la sommation des progressions géométriques, a-t-on obtenu par exemple :

—2 sin ain — — — = sinx y q {\ -\- q -^ q^ -+-• . .) -h sin3j? /^ (i -+-^' -+- 5^* -4-...) -h sinSx \/q^ (1 -+- 7* -h 7*° -h. . .)

ûnx ^v^ sinSa? ^ ^fq' %\v\bx ^ ^q

qui comprennent les précédentes, est de prendre avec quatre con- ]

stantes arbitraires

Celte expression qu^on voit a priori être solution, par les rela- j

lions de la page i5i, est effectivement la plus générale; car, en \

supposant

//tlTC.r

^{x) = 'Lante ^^ , ou plutôt

TIO OKUVKES DE CHARI.KS IlERMITE.

OU bien, sous la forme d'une somme double,

Faisons donc

( 9. jjt -+- O ( •;► m H- I ) = M,

M représentera tous les nombres impairs, et le coefficient d'un#^ terme quelconque \/^, dans la série, sera la somme de toutes les ^ quantités sin(2[jL+ i)x^ où 2[x4- i est un diviseur de M. Et, comme tout diviseur d'un nombre impair est lui-même impair, on pourra écrire plus simplement, en désignant par [ji un diviseur de M,

kK . iKx v' /-u V .

^ — sin am = > yÇ y. sin |ijr.

D'une manière toute semblable on obtiendra

--cosam ^^ =2(— i)~*^/^2 (—!)""«" cos|ix.

A l'égard de Aam:r, si Ton désigne par N = 2^M un nombre entier quelconque, 2^ étant la puissance la plus élevée du facteur 2 qu'il contienne, de sorte que M soit impair, on aura

Aam \^ = ^ 4-2(-0~*"5'^2^""*^""*"^^^'^'''*''^'^'

où [JL représente comme précédemment tout diviseur du nombre impair M. Il est impossible de ne pas être frappé du caractère aritlimétique de ces expressions