PL

^(—1; ^ cos'2^-^* fia:;

elles offrent un exemple des fondions numériques qui ont été le sujet des belles recherches de M. Liouville, et la manière simple dont elles sont amenées par la théorie des fonctions elliptiques peut aisément faire présumer le rôle de cette théorie dans l'étude des propriétés des nombres.

TIIKORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. l'Ai

m. — Vérijication des équations différentielles fondamentales.

Désignons par m et m' tous les nombres impairs positifs et négatifs, par ia lettre n tous les nombres entiers pairs et impairs; en posant

" 2Ll I — </"* '

on a uni

ikK . îKj? -, sin am = U,

— ces am = V ,

- -ïî

— A am = W.

Cela posé, an\ équations

€l sin am.r

dTdçns am.r

dx d 1 -AXUX

dx correspondent relles-ei

= cos amâ' Aamor, = — sin aiiij^ AaniJ^, = — /"* sin am.r cosam:r,

<|ue nous nous proposons de vérifier.

Considérons pour cela les produits

Q 2 g{m-hin)ix

UV = y ;? ^ r ,

'12'f. OEUVRES DE CHARLES HBRMITE.

et observons qu^on a idenliqueinent

m'-t-2n m'-f-ln

gr'»')(i-f-

m-t-ln

En posant

m -+- m' = iS,

de sorte que M et M' soient des nombres impairs, et N un entier quelconque, on pourra écrire :

wu

UV

Ces expressions étant comparées respectivement a 7-' j—» -7—^ on reconnaît qu'il suflîl pour démontrer les relations diflTéleuliolles d'établir qu'on a. en supprimant les accents :

1^ pri>cédé à suivre pour cola «Mant le mémo dans les trois équations, nous oonsidércn»ns, pour tî\er les idées, la première. Distinguons, à orl otVct, lr< >alcur< positives des \aleurs né«^tives du

THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Xl^

nombre m ; les premières conduisent à l'expression qu'en supposant M positif, nous écrirons

d'après les identités

les secondes, en mettant — m à la place de m, à celle-ci :

de sorte qu'il reste la quantité suivante :

Mais, à partir de m = 2M-+-i, tous les termes de la première somme sont donnés par la seconde en signes contraires et disparaissent. Ainsi il ne subsiste plus qu'une série finie

m = lM— 1

que nous décomposerons comme il suit, en isolant le terme moyen, savoir :

Or, en remplaçant — — ^^^^^j apr sr;^» 1» première somme

est