II I

et ces divers termes, respectivement ajoutés à ceux de la seconde

savoir

JM^'

donneront autant de fois l'unité qu'il y a de termes, c'est-à-dir — ;^^; joignant à cela la fraction - qui correspond au terme du milieu, il vient en définitive

ce qui est bien le résultat auquel il fallait parvenir. Enfin, si l'on suppose M négatif, on observera que l'expression que nous avons considérée change de signe avec M, de sorte que

^ / I q'ik-m \ ^ V / ' q-^-m \

^ \ I -t- q'" "" I -h çM-my ~ ~ ^ \n-^"» "" I -f- q-^->») '

En elTct, si l'on met dans le premier membre m -+- M au lieu de w, on obtiendra identiquement le terme général de la série du second membre.

Après avoir ainsi montré par un exemple important de quelle manière les nouveaux développements peuvent, comme ceux qui ont servi de base à la théorie, conduire aux propriétés fondamentales des fonctions elliptiques, nous allons présenter à un point de vue plus général la comparaison entre les deux modes d'expressions, en donnant sous forme de série périodique simple une fonction uniforme quelconque à double période.

IV. — Développement en série de sinus et de cosinus d'une fonction doublement périodique.

Nommons F(z) la fonction proposée, a et 6 ses périodes; voici

en premier lieu comment nous définirons les limites delà variable,

entre lesquelles sera successivement représentée cette fonction,

par un développement en série de sinus et de cosinus qui mettra

en évidence, par exemple, la période a. Observons, à cet eflet,

que l'expression

z = at -{- buj

TnÉORlE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 'JtîS

en supposant réels t et f/, peut représenter toute quantité imaginaire, et que, s'il s'agit d'obtenir toutes les valeurs que peut prendre F (5), il suffira, eu égard à la double périodicité, d'attribuer à / et ;/ toutes les valeurs réelles comprises entre zéro et Tunité. Nous appliquerons cette remarque aux racines de IVqua-

tion ■ == 0 dont dépendent les limitations que nous avons en

vue, et en suivant l'ordre croissant depuis zéro à l'unité des valeurs de M, nous les désignerons par Ç|, ^2? • • -i ^h ^e sorte que Ç/ corresponde à «/ = Ui. Gela posé, soit o/ une quantité comprise entre Ui et M/^i (*), les limites exclues, l'expression

F(ar-H6u|)

ne pourra devenir infinie pour aucune valeur réelle de /, et donnera lieu par suite au développement

convergent quelle que soit cette variable. Par conséquent, si les quantités Ç/ sont en nombre égal à |jl, l'ensemble des |ji séries suivantes :

= at -h bu.

représentera F(z) pour

/ étant quelconque, u moindre que Tunité, mais toutefois en

excluant les quantités

at -h bui,

at -+- ^Mj,

at -4- hu^.

(') La quantité u, pourra être supposée comprise non seulement entre </, et zéro, mais encore entre zéro et la valeur négative de li la plus petite, abstraction faite du signe.

ix'iO oevvuks de ciiarlks iirrmitk.

El si l'on reproduit périodiquement les mêmes séries, en faisant croître // depuis Tunité jusqu'à l'infini, et décroître depuis zéro jusqu'à riniini négatif, on aura embrassé toute l'élendue des valeurs imaginaires de l'argument et obtenu, sauf les restrictions indiquées, une représentation complète de la fonction. Cela bien compris, nous allons donner la détermination des quantités Am*

Pour cela nous emploierons la proposition fondamentale du calcul des résidus, exprimée par l'équation

I Ç(z)dz = lÎTil,

où le premier membre représente l'intégrale d'une fonction uniforme f ( s), prise le long d'un contour fermé quelconque, et A la somme des résidus de î{z) pour toutes les valeurs de la variable, qui correspondent à des points renfermés dans ce contour. Cette proposition de M. Cauchy, appliquée au cas où le contour est un parallélogramme ayant pour affixes de ses sommets les quantités

et pour équations de ses côtés ces relations où la variable croît de

zéro à l'unité, savoir :

z — p H- at^

z = p —a -h ht,

donnera

aj î(p -h at)(it-h h I Ç(p ^ a -^ bl) dt

— (ff (\p-^b-ha{i — f)\(f( ~-b f f[/, -f./>0 — t)\dt=z 2trA,

OU plus siniplemeiil

l <^' / ^{P -^ «O (^f -^ b I iip^a-h bt) dt ( l-.l {

I ^{ {{p^h^at)dl'-b Ç {ip'^bt)dt = iir.\.

D'ailleurs, et d'après la signification précédera ment indiquée, A représentera la somme des résidus de f (s) pour toutes les racines J^ de l'équation j:- — = o, dont les valeurs peuvent être représentées par la formule

en supposant t et a compris entre zéro et l'unîlé. Cela posé, l'équation

donnant

nous appliquerons la relation (i) en faisant

Comme on a évidemment

in^l

en posant, ainsi que plus haut,

le premier membre de l'équation (i) se réduira à

Quant au second, c'est-à-dire à la somme des résidus de la fonction

pour 5 = JJi, JJ27 • • •? sjiLj nous supposerons pour simplifîer que ces quantités soient des racines simples de l'équation ^n — : =0; alors, en désignant par R/ la limite de s V(^i -1- s) pour 2 = o, on trouvera immédiatement

îfmn A = c

228 OEUVRES DE CHARLES IlERMITB.

On en conclut le développement cherché de la fonction F (s) pour z =at -{- but sous cette forme

i/n — (S— C,i) tm — (5— Ç,» tm — U-

où nous ajoutons une constante arbitraire, en supprimant dans chaque somme le terme qui correspond à m = o. Pour ce cas effectivement l'équation

aAii>(i— q-»^") = 2t7cA

ne peut, comme on le voit, déterminer A^', et donne seulement

A = o, c'est-à-dire

Ri4- Ri -h... -h Rjx= o.

Mais, avant d'aller plus loin, faisons de suite une application de

la formule générale que nous venons d'obtenir en supposant

F(z) == sinam^. Soit alors

6= 2eK',

on aura

Ç, = eK'-h2K,

Ri -f- limssin am(iK'-h£) = -7 ,

et, par suite,

in--\z — iK\ »w -rrts — ik' — îk) I

1*7: xr* '"Tir V^7~'" r , ^ 1

On voit qu'on peut ne conserver que les valeurs impaires de w, de sorte qu'en supposant nulle la constante, on trouvera immédiatement

ikK . -iK^ v^ . i/^ sin am = > e"»'«= -^-^ — ,

c'esl-à-dire pour le second membre la série désignée par U, page 221 .

Revenons aux considérallons générales, et surtout à la compa-

TlIBORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 229

raison des deux dcveloppernenls qui correspondent k z = at-\' bOi et s =zat -h b\J2. Les résidus, dans le premier cas, se rapportent aux valeurs Çr, Çt, . . ., ^^; or en passant à l'intervalle suivant, défini par la relation z= at-\- bu^^ on sera conduit à la série ^2» t[j, ..., Ç(4, Ç| -h 6, et comme les résidus de F{z) relatifs à Ç|, Çi 4- 6 seront les mêmes, les deux développements seront, avec Texpression des termes constants,

Ce sont donc les termes constants que nous avons à comparer. Nous nous servirons pour cela de l'équation déjà employée, en y remplaçant la période b par une quantité arbitraire P, savoir :

a f ? (p -^ at) dt '\- ^ f F{p-^a-^^t)dt

— ai F(/)-h ^-^at)dt—^ f ¥(p-\- ^t)dt = lir.l.

Si nous supposons p = 6ui et /? 4- ^ = b\J2j A se réduira au seul résidu de F(z) qui correspond à 2 = Ç|, et Ton aura immédiatement, en divisant par a, la relation

f F(at-hbji)dt^ f Fiat-i-but)dt= ^^ R,.

Nous pouvons donc ramener les deux développements à ne contenir absolument que les mêmes éléments analytiques, de sorte que, le premier élant

■lio OEUVRES DE CHARLES IIERHITE.

le second, en réunissant les lennes en R|, s'écrira ainsi

De là se lire une conséquence importante et qui justifiera ce que nous avons annoncé plus haut, sur le rôle de la fonction de seconde espèce.

Remarquons, en effet, que les diverses séries affectées des facteurs R|, Ua, . . . proviennent de ce seul développement

en y remplaçant z par z — Çi, ^ — Ça, . . ., et z — Ç| — b dans le second cas. Or, en mettant :; — - au lieu de w, ce développement prend la forme

îm

qui nous rappelle immédiatement une expression analytique bien connue. Soit, en effet,

d'où on aura

f / • '" -ïr-

e {Z) " Y jLd I — </ ^"' ~~ "K" ^,;, i — 7*'« ^'" K * Nous pourrons, par conséquent, écrire, pour-c = at -^ 6u,,

et, pour z = at -^ôu^j

TIIÊORIli: DES FONCTIONS ELL 1 1»T1Q U ES . 23l

Cest en ce moment que se manifeste toute Timportancc de la propriété caractéristique de la fonction de seconde espèce relativement à la double périodicité. EIFectivement, les relations

(Z(ar-t-'2K ■) =Z(a:)-+-2J, \ Z(ar-f.-iiK')=Z(j-)-h'2iJ'

équivalent à celles-ci :

f e(x—iiW') ~ e(x) "^ "K '

d'où Ton voit que Ton peut ramener à une seule les deux formules de développement, par l'introduction de la transcendante, puisque

la quantité ^ ;^ — -17 se réduit a ^-. ^ •

De là résulte une relation analytique générale subsistant dans toute l'étendue des valeurs de l'argument, et dont la forme définitive, en passant de ¥(z — iK') à F(:;), s'obtiendra comme il suit :

Rappelons d'abord que l'on a

.... ... — .-rT(î.l"-+-l K )

e(x-hiW') = in(x)e *»^

d'où, en prenant les dérivées logarithmiques des deux membres,

e'(.r-^ /K') l\'(x) __ MT

e(j7-+-/K~ "" \i{x) "~ -Tk' [1 s'ensuit qu'en mettant c -|- ' K.' à la place de v, on obtiendra

el plus simplement, ptiis([ue la somme des résidus est nulle, Dans le cas enfin où J^, au lieu d'être une racine simple de l'équa-

aSa ceuvREs db ciiarles iibriiite.

lion pT — - = o, serait racine multiple d'ordre n, ce qui donnerait

lieu à la relation

e'*F(î; -f- e) = A H- Be 4-. . .-+- Qe«-> -4- Re«-»4-. . .,

le seul terme Un-r- — 7\ devrait être remplacé dans la formule par l'ensemble

H(^-0 ^ dzl}l{z-^t,)y" i,i..,n-7. dz LH(^-Ç)J

(-!)«-» A dn-^ [-H^z-QI 1.2. ../i — i ^5 LH(^— Ç)J'