V. — Proposition de M. Liouville

Nous fonderons la démonstration sur la formule précédente, en y supposant

^(z) étant une fonction doublement périodique uniforme dont les périodes seront, comme plus haut, 2K et 21K'. Alors les racines Ç comprendront les solutions des équations

Nous désignerons les premières par Ç et les secondes par Ç', en admettant toujours qu'elles soient représentées par la formule

p -hiKt-h -îiK'u,

t et a restant compris entre zéro et l'unité. A l'égard des résidus

de 577-7» on sait qu'ils sont égaux à -h i ou à — 1 suivant qu'ils

se rapportent aux quantités s ou Ç', cl, comme leur somme est nulle, on est amené à la conséquence remarquable que ces quantités Ç et Ç' sont précisément en même nombre.

Cela posé, el en désignant ce nombre par n, on aura

f(z) -*^'^H(a-Ç,)^H(z-!;,)^---^U(^-"î:„) H'(^-i:',) H'(^-;',) H' (J- Ç'J H(s-Ç',) HCa-îi) *•■ H(^-îi)'

d'où l'on tire, en désignant par A une constante arbitraire,

expression qui doit avoir les quantités 2K el 21K' pour périodes. Or, en faisant usage des relations

H(ar-+-2K) = — H(a7), H(iF-h2iK')-=— H(ar)e * ',

et représentant la somme des racines Ç par £2^, la somme des racines Ç' par SÇ', on trouvera

de sorte qu'il faut poser

et ces conditions donnent, en désignant par a et |î des nombres entiers arbitraires,

et, en second lieu,

2; — 2Ç'=2aKH-2ptK'.

On observera combien est digne de remarque celte relation dont la découverte appartient à M. Liouville, entre les racines des équations

quant aux nombres entiers a et p qui y figurent, j'ajouterai seule-

incnt qu^ils se rattaclient iinincdiateincnt à la fonction ^(^) elleniéaie par l'équalion

Voici maintenant les conséquences qui en résultent. Ayant

H(5-i-i:;) = ii(5-i-2:;'-+-2aK-r-2?iK'),

on en tire

ce qu'on peut écrire

Remplaçant donc le facteur exponentiel

qui figure dans Texpression de 4>(c), par ce rapport de fonctions H, et posant

il viendra

ll^;;-!;'jlU3-;,)...H(;;^-S;')

Or on reconnaît au uuinéralcur et au dénominateur de ^{z) les expressions (pie nous avons déjà employées en démontrant le théorème d'Ahcl sur raddillon des argument^. Si le nond>re n est impair par exemple, Texpression

est celle cpii a été considérée page 1S4, et qui s'exprime ainsi

(iz

F(x) el F, » r) désignant des polynômes de degrés et y

el J- pouvanl élre pris égal à sinanu, cosam>3, ou Aam:;. Dans le cas de n |)uir, elle coïncide avec la fonction désignée page 184,

THiSORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 235

par Oi{x), et l'on a alors, en désignant par F(x) et f(^) deux po- Ij-nonies entiers en x respectivement des degrés - et ^>

n./ • . rfsin îims ^, . . = sin am^F(sin* ain-s) h -^ f(sin' am5).

On voit donc que ^(z) est donné par le quotient de deux expressions de cette nature, et c'est précisément dans la réduction de la fonction doublement périodique à sin am^ et à sa dérivée que consiste la proposition que nous avons en vue d'établir.

La démonstration que nous venons de donner, reposant en entier sur l'expression générale d'une fonction doublement périodique F(j7), que nous avons précédemment obtenue, savoir :

nous indiquerons encore un moyen d'y parvenir immédiatement, en partant de Téquatiou

a f f(p-hat)dê-^ù i ((p -ha-\- ùf)dt

— a I i{p^b-Jrat)dt — h j {{ p -^ bt) dt = xir.^.

Soient, comme plus haut, et prenons

' U {jr — Z) Par la définition seule de la fonction n(^), on a }V(z-^-oK) \V{z)

Wiz—xiK) 117 j) ir.

et il en résulte

236 UEUVRRS DE CHARLES IIERMITE.

de sorte que réquation précédente se réduit à

F(p'^•lKt)dt = — ^,

Or les divers résidus qui entrent dans A se rapportent d'une part à -S = Çi, Ça? • • -7 Çjiî et de l'autre à 5 = ^; les premiers, s'ils correspondent, comme nous l'avons supposé, à des racines simples, donnent pour somme

et le résidu relatif ùl z ^Xj racine simple de il{x — 5) = o, sera évidemment — F(^). L'expression de A qui suit de là donne immédiatement la relation

F(.)=jr'F(;,-.,KOrf/ + R.|f{;=|^;

J'ajouterai encore une remarque sur cette formule que j'écrirai, pour abréger, comme il suit :

En employant le théorème relatif à l'addition des arguments dans la fonction de seconde espèce (*), on trouvera aisément la relation

Y7-7 1~[ = fî 77— J cotang ama: Aamar

H (a:-;) ïli^x) H(Ç)

sin amx

b'uï aiii Ç sin am {x — Ç )

S' ( x) (*) C'est la quantité ■—-■ — - qui entre dans Z{x), mais on peut lui substituer

jT— — -y à 1 aide de la relation sin am a? = -— -— — r» qui donne, en prenant les Il ( X ) y /c ^\^)

dérivées logarithmiques des deux membres,

— r — TTT— V = cotang amx A amx.

Ji {x) H(x)

THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. '^3y

d'où résulle en subslituanl dans l'expression de F(:r), et ayant

égard à la condition

cette nouvelle formule

H'(î;) '^ Rsinamjr

P,.,.c-2R!lil^2,

F(a7) = const.-*- > -:^ =—. ; =- •

C'est donc encore la réduction de la fonction à double période à sinamj: et à sa dérivée; mais la méthode plus rapide qui nous y conduit ne donne pas, comme la précédente, la relation importante, et que nous avons dû tenir à ne pas omettre, savoir :

s; — 2Ç'=2(aK4-peK').

Celte nouvelle formule résulte d'ailleurs immédiatement de la

seule condition

comme nous allons encore le faire voir. Considérez en effet la fonction

sin aiii^ siii ain(j: — 2)

dont les périodes seront 2K.et 2«K'. La somme de ses résidus comprendra d'une part ceux qui se rapportent aux racines de l'équation

c'est-à-dire

sin amÇ sin ani(ar — Ç)

et puis les résidus relatifs aux deux équations

sin am^ = o, sin Rm(x — ^) = o.

Or, dans rintcrvallc des périodes aR et 2iK', on n^iura d'autres

2'3'i CKUVRES DE CHARLES HERMITE.

racines (juc 5 = 0, z = x^ auxquelles correspondront les résidus

sin am^ siii aiii^ '

on a, par conséquent,

.i^ siii aiiic, Mil iiiiHX — 1^) fyiniunx siiiuiiix

d'où

c/ X c/ X V Rsinam:r

.i^ siii aiii!, sin aiii(^ — ^;

D'une manière toute semblable on trouvera relativement à une fonction ^{x), satisfaisant aux conditions

^{x-^-xiK') = rf(T), l'expression très simple

^ ^ ^ siiiaiii(j' — ÎI)

011 figurent seulement les racines Ç qui sont renfermées dans l'intervalle 2K et 2tK', et exprimées par la formule

Ç = /> -f- i K / -h 9. iK' M,

/ et M étant moindres que l'unité.

Nous nous arrêterons à ce point dans cette Note, pensant ainsi avoir à peu près complètement esquissé l'ensemble des notions élémentaires de la théorie des fonctions elliptiques qui précède l'étude de la transformation.