SUR LES THÉORÈMES DE M. KRONECKER, ETC

Et ensuite pour

( ho = o(m), j /li = o, ( ^h =0, \ h\ = o;

/ /io = 9(/n), / a; = o,

I /il = ^ç(m), I a; = ^<p(m);

On en conclut

2 (2A, -h a; - aAo - A'o) 7^ = 2 ^'"'\^' -'%(m)y^/«

Il en résulte qu'en remplaçant dans l'équation fondamentale

les trois séries par leurs valeurs, on verra les deux premières détruire cette partie qui provient des formes ambiguës, et il restera simplement

Toutefois, si A est un carré ou le triple d'un carré, le terme général doit être remplacé par

ou

Mais on peut éviter ces deux cas d'exception en ajoutant deux se-

'/-j4 UR ivres de CHARLES II ERMITE.

ries de termes <lc la forme 7"' cl 7'"'; si l'un fail, pour abréger,

on aura de relie manière

OJ = 2 '^(«0 - «0 7*^ -- 30 H- 4 s - <•».

C'esl le résultat auquel est parvenu M. Kronecker, en employant la ronsidération des modules qui donnent lieu à la multiplicalion rruuplexe, car, d'après les dénominations de ce savant géomètre, on aura

et, par suite,

fl^ - j9, = .;tf'( A) — ^( A) = A7 A).

On a donc deux méthodes ai)solument distinctes qui raltaclient par un double lien à la théorie des fonctions elliptiques les propositions de Legendre et deGauss sur la décomposition des nombres en trois carrés. Ces illustres géomètres, en poursuivant au prix de tant d'efforts leurs profondes recherches sur cette partie de T Arithmétique supérieure, tendaient ainsi a leur insu vers une autre région de la Science et donnaient un mémorable exemple de cette mystérieuse unité qui se manifeste parfois dans les travaux analyli([ucs eu cip[)arencc les plus éloignés.

SUR