LA THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES

C€^^nptes rendus de V Académie des Sciences, t. lA', iSOt. (Il), p. G84.

I-si méthode de M. Diriclilet pour la délerinination du nombre

"^s Cî lasses de formes quadratiques de même déterminant, et celles

9** OKI a tirées récemment de la considération des fonctions ellip-

^'^•-a^s dans le cas des déterminants négatifs, conduisent pour la

"^^**^e question à des solutions tellement différentes, qu'il semble

^**^^î difficile de trouver un lien quelconque entre leurs résultats

^''^ ^ Blre les principes sur lesquels elles se fondent. Ce que laisse

** ^^^"sirer à cet égard la théorie des formes quadratiques paraît te-

^^ ô Tabsence de quelque principe essentiel auquel on serait sans

^^-^ te amené, soit en découvrant une démonstration purement

' ^fcinétique des propositions de M. Kronecker, soit en tirant de

^^léorie des fonctions elliptiques les expressions mêmes de Diri-

^ * ^t. En accordant la préférence à ce dernier point de vue, j'ai dii,

^^^>irae première préparation, faire de la méthode de cet illustre

^^^ ître une étude qui m'a conduit peut-être à abréger et à simpli-

^^^en quelque chose son analyse, et voici sous quelle forme je la

■^^^senlerai.

Soit

m = a*b?cy.../^^

^H nombre entier décomposé en ses facteurs premiers a,ù,c^ ...,A; * expression

-.iv «?«ir<^ »C CHARLES UERMITR.

• a. *!i u «••toijnuiiL H pr «iait tJe> facteurs binômes,

~ .MM c ^rt <i^ jià abc '" abc.k*

^..i-^^.iiit> t> nuuur?* »ie> entiers moindres que m et premiers avec uu le '•jiâtiut*!u--rii par «généraliser celle expression en cousidélun t uiittUà-rf ie< tenues premiers à m dans la suite

•u c *^ tu«*H^(a«(ue. Si i*on désigne, suivant Tusagc, par E^ J:^) le uU'^ ^»rtAM ;uU«.T contenu dans x, ce nombre sera

*nsAi |nuN duuîformité, je remplacerai le premier terme n par K • . ui i>bUcut \Mïr là une expression où il est possible de mettre, tu u-«4 siu uombre entier /t, une variable quelconque x, à savoir :

t a Nt^uiticutiou arithmétique de cette fonction sera d^exprimcr U tKMiibivde^ entiers non >upérieurs à j: et premiers à //i, en fai-

INvui n I ri afin do compléter la définition, nous conviendrons

^ , xt .» J»t\' ilo ivduiiv 1,1 formule à son premier terme. Enfin, en .u K .^«t uii |Mi , uiu' vjuuilllé coiiiprÎM* entre -f- i et — i, et par jx U u.»i»iIm\» vK'* tvU'loui> preuiicrs, </, />, ...,/", on voit aisément

» I ,1 U |Mx*|MixU* dv* cotte fonotii»n dont nous ferons principale-

THKORIE DES FORMES QUADRATIQUES. 267

Soit encore à trouver le nombre des termes de la suite

cijui sont en même temps premiers à m et divisibles par un nombre donné i. Gomme les multiples de / dans cette suile sont

ce nombre est le même que celui des entiers non supérieurs à - et premiers à m; ainsi il est donné par l'expression 4> ( -r j • C'est à ce moment que se justifie notre convention de faire, pour m = i,

car alors la formule doit donner le nombre des multiples de i qui

ne sont pas supérieurs à n, et par suite coïncider avec E( -rj- De

là résulte entre 4>(j7) et E(j?) une certaine analogie de rôle que la question suivante rendra manifeste.

Soit F(/i) une fonction ainsi définie

la somme comprenant tous les nombres i qui sont diviseurs de n. On vérifie aisément qu'on aura

En effet, dans le premier membre un terme quelconque /(/) est

amené par toutes les quantités F (A) où k est multiple de /; il se

trouve par conséquent répété autant de fois qu'il y a de multiples

de i dans la suite

et c'est précisément ce qu'exprime le second membre. Modifions H. — II. 17

a58 OBL'VRES DE CHARLES HERMITE.

maintenant cette relation en introduisant d^abord la condition /(/) = o, lorsque / n'est pas premier à un nombre donné

et posant ensuite

lorsque pareillement k n'est pas premier à m. On voit alors que

dans la somme "V ¥{k) un terme /(/) est autant de fois répété

qu'il y a dans la sulle i, 2, 3, . . ., n de termes divisibles par i et premiers à m. On aura donc, au lieu de la relation précédente, celle-ci :

que nous emploierons bientôt à la recherche du nombre des classes. Mais il est nécessaire de rappeler d'abord quelques résultats sur la représentation des nombres, par le système des formes non équivalentes, de même déterminant D.

A cet effet, nous désignerons par n un entier positif, impair, premier à D, et, en nommant S^ le plus grand carré qui divise D, nous ferons

Cela posé, voici les deux théorèmes fondamentaux établis par Dirichlet au moyen des considérations les plus élémentaires et qui pourraient être placés parmi les premières propositions de la théorie des formes quadratiques.

I" Le déterminant D étant négatif, la somme

oii i désigne tous les diviseurs de n, et ( -. \ le symbole généra-

THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES. 25g

Usé de Legenire, exprime de combien de manières diffé' r^entes (*) C entier n est susceptible d'être représenté par les formes non équivalentes, composant tordre proprement pri- ^Tiitif de déterminant D.

2* Le déterminant étant positif, la même expression, sauf Me facteur i qu^on supprime,

'donnera encore le nombre des représentations de n par les formes non équivalentes de l^ ordre proprement primitif ^ mais

sous les con ditions suivantes : Premièrement, on choisira, pour

représenter n, des formes

où a soit positif et c négatif; en second lieu, x et y devront être positifs et satisfaite à cette condition

oiiTetX] sont les plus petits nombres qui donnent

Tî- DU« = i.

On voit que dans ces propositions figurent exclusivement les nombres impairs et premiers au déterminant. Les valeurs des indéterminées X et y^ qui rendent ainsi une forme impaire et première à son déterminant, se distribuent en certains systèmes, tels que

(A) a7 = 2Di'-ha, ^ = '2Dw-Hp,

V et w étant des entiers arbitraires, a et p étant choisis dans un système de résidus suivant le module 2D. Leur nombre, si l'on

(*) Les déterminants — i et — 3 font exception, le nombre des représentations -étant respectivement pour ces deux cas :

26o OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

représente par D| la valeur absolue de D, est

2D,ç(D,) ou 4D,«p(Di),

selon que D est impair ou pair. Ce dernier résultat rappelé, voici maintenant de quelle manière, en n'ayant en vue que la détermination du nombre des classes, il nous a paru possible d'abréger la belle analyse de Dirichlet.

Revenons à l'équation

pour y faire

où(-r) est le symbole de Jacobi, avec la convention de poser ( .- ) = o lorsque i ne sera pas premier à D. Alors les expressions

¥{n) = 'i^f^i) ou F(/i)=2/^'>'

suivant que D est négatif ou positif, donneront, en vertu des propositions précédentes, le nombre des représentations de l'entier /i, par le système des formes proprement primitives de déterminant D. Mais ces propositions supposent essentiellement n impair et premier à b, de sorte que, pour tout nombre k qui ne satisfait pas à ces deux conditions, nous devrons supposer F( A) = o. En conséquence, il faut déterminer la fonction 4> en prenant ni = 2D1, ou simplement m = D, , selon que le déterminant sera impair ou pair. Pour mieux préciser, bornons-nous au premier cas : les expressions

F(/i)=2> /-7-)<ï>(-r] pour D négatif,

F(n)= 2.(7)*(7) pour D positif,

THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES. 26t

auxquelles nous sommes ainsi amenés, donneront donc la somme des nombres de représentations pour tous les entiers positifs, impairs et premiers à D de un à /?. Or on peut obtenir cette même somme en se plaçant à un point de vue bien différent, comme on ^a voir. En supposant d'abord le déterminant négatif, faisons cor- ■respondre, à chacune des formes (a, 6, c) qui composent Tordre proprement primitif de ce déterminant, une ellipse ayant pour équation en coordonnées rectangulaires

ax^ H- 1 hxy -h c/* = n.

On reconnaît sans peine que le nombre des points dont les coordonnées sont exprimées par l'ensemble des formules (A),

et qui sont situés dans l'intérieur et sur le contour de cette ellipse, donne précisément cette somme des nombres de représentations par la forme (a, 6, c) des entiers considérés ci-dessus. En second lieu, supposons D positif, nous aurons un résultat entièrement analogue, en faisant correspondre à chaque forme (a, 6, c) de Tordre proprement primilif une hyperbole

ax'^ -H 2 bxy -h cy^ = n.

Effectivement, d'après les conditions propres aux déterminants positifs, le nombre de points dont les coordonnées sont Tensemble des formules (A), et qui sont compris dans l'intérieur ou sur le contour du secteur hyperbolique, lerniiné d'une part par les droites

aV T -b{]

et de l'autre par la branche de courbe s'étendant du côté des abscisses positives, coïncidera avec la somme des nombres de représentations appartenant à la forme (a, 6, c).

Ou va voir quelle conséquence importante résulte de cette seconde manière d'exprimer F[n'),

26a OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Rappelons, à cet eflfet, la proposition de Dirichlet sur le nombre

des points compris dans Tintérieur d'un contour fermé, et donnés

par les formules

X = av -h %y y =s bw -h p,

où V et w prennent toutes les valeurs entières de — oo à H- ao. Si l'on suppose a et 6 positifs, ainsi qu'on peut toujours le faire en changeant le signe de v et iv, et qu'on désigne l'aire du contour par 0", on aura sensiblement —r pour la valeur de ce nombre quand o* est très grand. Ce résultat ne contenant pas a et p, si l'on a [jl systèmes de valeurs des coordonnées ne différant que par ces constantes, ^-T sera la somme de tous les nombres de points ainsi exprimés et qui sont compris dans l'intérieur du même contour. Cela posé, l'aire de l'ellipse

or* -h 2 bxy -\- cy* = n où 6» — ac = — D|

est

celle du secteur hyperbolique,

nlog(TH-U y/p) 2v/D '

le nombre a des systèmes

puisque nous supposons le déterminant impair, est

Ajnsi ^ sera ab

/io(D)log(T-f-U y/P)

dans le premier cas.

dans le second.