DANS

U THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPnOUES.

Cotmpte* rendus de l'Académie des Sciences^ t. LVII. 1 863 ( Il ;. p. 993 et Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. IX. i^4» »* *•» |'- 3 1 3.

Les expressions en produits infinis des fonctions elliptique», savoir :

iKx I a\ q^iVkTs I — 2y*cos2jr — y*M i — tq* ctt^ii ^ <^ ^ \ — -yq^ tut^ir -^ q^*),„ 2Kjr __ /^ i\ ycM?jrM~2y'co5 2jr-^-7*>' i — iq^^io^ ^x^-y»f^i^2y*co» /y «-yO;,,,

r V ^ ^* — '2^ COS2Jr — ^«nl — 2y*''Oi2X — y*.»M — 'iq*C^P%'lX -^q*** f . . , *

2Kjr ^ u-^ -^y COS2X — y* >' I — iq^ co^ ix ^ y* >/i ~ 'iq^co^ix ^- y^» ;. , .

s "~ a — 29 ro*2X -i- ^* I' I — 2y»CO*2X — q^ >* t — 'zq* t^f%'f,X -y q***f,,,^

donnent immédiatement, pour la mcine quatrième du nupàuln et de son complément, de^ fonctions uniforme» â {'^.^^hM Ait la variable <o définie en posant q = e*^^. C'est ce qu'on %oit dan% le% Fundamenta, % 36. où sont établies ces relations

ou encore sous forme entière

{/r = [<I— yîvi — y. 1^7* ...j[ I -y,i y»; I — y^^, ,)»,

ly-à OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Mais cette conséquence importante ne résulte pas des développements sous forme de quotients de séries des mêmes fonctions^ savoir :

sin am

cos am

7C J]^ I — iq cosix -\- 'iq^ C0S4X — 'ig^ cos6x •-¥■

iKx /P '2 y/^ cnsjt: -+■ •?. y y* cos 3 j* -4- 'à \' 7** cos -yx-h

t: y ^ ' — A</ cosàx -h -iq^ cos^x — iq^cosax -h

A am = /a*

7C I — -iq c.os'ix -T- 'Aç'' cos.J J^ — 2 y" cos6jt -

car c'est seulement alors la racine carrée du module et celle de son complément qui sont données en fonction de q par ces formules

I — jtq -h 'iq^ — iq^'

iq -1- 2 y * -h 2 y » -4- . . .

Dans cette Note, je me propose d'établir, pour

sin amâ7, cosam^r, A amx,

de nouveaux développements en série de sinus et de cosinus analogues aux précédents, mais qui donneront aussi bien que les produits infinis les racines quatrièmes de k et k comme fonctions uniformes de la variable to. On en déduira, en eflet, ces formules remarquables, où le signe ^ s étend à toutes les valeurs positives et négatives de n

sjk = ^ , C'A-' = ^^^ ,

\fk — ) \! k' = ,

PORMliLES RELATIVES AU MODULE, ETC. 278

t auxquelles Jacobi est déjà parvenu dans son Mémoire intitulé : Jber unendliche Reilien, deren Exponenten zugleich in Zivei ^erschiedenen quadratischeii Formen enthalten sind, en les léduisant des produits infinis en q rapportés plus haut. Les pro- >riétés si importantes auxquelles donnent lieu ces quantités ^k ît ^k\ lorsqu'on y remplace w par — — r— > a, b, c, d étant des

lombres entiers assujettis à la condition ad — 6c = i, résultent Je ces formules et peuvent être établies, comme j'espère le montrer, d'une manière simple et facile.

Pour abréger l'écriture, je conviendrai de désigner les quatre fonctions

par 6(.r), 6|(J?), "30 (•^)> ^ii(^)» de sorte qu'on ait, en mettant en évidence la quantité o> dont il a été question tout à l'heure,

6 (iT, tu) = I — 'xg C0S2T -h 'iq'^ cos4^ — 'i-q^ cos6a: -H. . . , ôi (a:, w) = I -h 2^ cos2a7 -^ 'iq'* cos4J!^ -^ iq^ cosôar-h. . ., r^ (x^ lu) = i\/q siiiJ? — i\ q^ sinJa: -t- i^q^^ sin jJ? —-..., T,|(a7, to) = iv y cosar-H 2v^^^* ces 3a: -h 7.\ q^^cosbx -h. . ..

Cela posé, la transformation du second ordre donnera ces deux systèmes de relation

2r,* (X, to) = [/TT^e {x, ^) - v/T^I^O, (x, j) j ^'^^-y

2,î(.,co) = [/7:rÂ-e,(x, j)-/7^e (.,^)]^'^,

H. - II. i8

iiz

Tj (a:, a))6aa:, w) = — r.

et

' e (x,cii)e,(T,cii) = v^'0('ij',2a))4/— , Tj (a-, a))r,,(j', a>) = y X*' '^l 2t, 210)1 / — , Tfl (x, cii)e (a:, w)= ^Tfi (a:, -) l/ — »

t tj,(ar, w)ô,(a:, u))= -î^T,, (a-, -) 1/ ,

itz

r,,(jr,w)e (j-,w)= -4 T,,(:r,— — U/— ;

et c'est le second dont je vais faire usage comme il suit : Considérons, par exemple, le sinus d'amplitude : on aura

aKj* __ I Trj(ar, w) i t) ( j*, w ) ôi ( ar, a> )

Or, en employant la première et la cinquième de ces relations, on obtiendra de suite

ÎTC / CO -h 1 \

sinam

ou bien

iV^x JÎl V <7 sin.r H- v <7^ sin 3.r — v<7'*sinDjr — ...

sin ain = - ^ î— ?- ^-^^ ; — ^-î —

TT ^/^. I — > ^* ros 4 ^ -+- '2 <7 ** t'os 8 J* — 2 ^ • * cos I •! a- -4- . .

et le même procédé de transformation, appliqué à cos am

et A am , donnera les résultats que voici :

îKjt

iKx

f'-ï '^' ( -^^ "~T~" ) /'iv^ V(— r)"y*'»*^''sin(4rt-ri)ar

ir ^ V A- e( -^x, 2to) \/ A-

K/ir Txix. - \

A am ^ = ^' * V A

7 ( — \Y' q^"* co^\nx r,, ( r, I21I j 51*~ "" y'"'"^" cos( 4n -f- i)x

vA'

am

et, en second lieu,

^ r T , X v^vVV ^8«'-^*«sin(8n-h2)ar aKar J-ie^ ri{-ix^ lUi) \ "^ ^ ' ^^ ' im = I — - : = ,

Tjfar, -j * > ^»«'-»-«sin(4/i-Hi)ar