tf ~^7^— ^ ^jL = ^/;p? :^^!î

T, (a:, — j ^yi/i'-^/i 9in(4/i-Hi)a?

Tels sont donc les modes nouveaux de développement des fonctions elliptiques, qui manifestent immédiatement que les quant.ités \Jk et sjk^ sont des fonctions uniformes de w. Il suffit en effet de poser x =: o dans les deux dernières équations du premier ^oupe pour obtenir

ijt T,,(o, '^i:ti\ y^""'^"

c'est-à-dire deux des formules rapportées plus haut d'après Jacobi, et dont les autres se tirent aisément, comme nous le verrons bientôt. Quant aux équations du second groupe, elles donneraient, en prenant le rapport des dérivées, deux termes pour ^ = o,

2(-i)«(4/i-Hi)^»""-^«

\) qift*-^ft

les signes ^ s'étendant, comme précédemmeni, aux valeurs positives et négatives de n.

Mais ces nouveaux développements n'ont pas seulement f>^ci^^^

objel de conduire à ces conséquences, que je vais donner pnmr paiement en vue de Tétude des quantités ^ et (/A^; j'en indiqu^^ — "^^ encore un usage dans la question suivante :

La dérivée de sinam^r étant exprimée par

v/(i — sin* ama:)(i — k* sin* amrr),

il est naturel de se demander si les combinaisons suivantes d facteurs du radical

X (Xy k) = /( I -4- sin amx) (1 -h X: sin am^), Xi(x, k) = ^{i -h sin Siuix) (1 — X: sin amâ:*)

représenteront aussi bien que

cos am

a? = /i — sin* ama? et A am j: = /i — k* sin* ania?

des fonctions uniformes de la variable. Or, en désignant par a une^ racine quelconque des équations A(x ) = o, Xi (x) = o, on reconnaît aisément que les développements \(a -t- e), X| (n -j- t) commencent par un terme proportionnel à e, de sorte que d'après les principes connus ( * ) on peut assurer déjà que ces fonctions sont uniformes. On trouve en effet, par exemple,

^ , ., , / T ^i — k sm^ Simt — cosameAame

Aamg

et la quantité sous le radical est une fonction paire de s, qui s'annule avec cette variable. Mais il reste à trouver leur expression analytique, et Ton y parvient d'une manière facile comme il suit.

(•) Voyez Touvrage de MM. Briot et Bouquet sur les fonctions doublement périodiques.

G hangeons A" en tt et x en (i -\-k')x^ en employant la formule

[,,, I — Xr'l (I -+- A' ) sin amjTcos ama? ( I -t- A- )a7, 7-7 = ,

trouvera

= J \ — k^ sin» am^r -+- -2 sin ain^r cos ani^r A ania?,

AamjT

= yJ \ — 2X' sin* anix-T- A* sin* ania^-haA'sin amx cos amo: A am2r.

Aam;r

^r il arrive que les quantités sous les deux radicaux sont des arrés parfaits, à savoir :

( cos amar-H sin am.r A amir)* et (A' sin ani j? -i- cos ama: A ama?)*, le sorte qu'il vient simplement

[,. I — X'I cos amx ( I -h A" )x. 77 = sin ama? h = sin amar -h sm coama:, I -hX- J Aaina-

^. \, ,,, I — A'I Ar'sinamar

K\\{\->f- k)Xy =-7 = cos ama? n : = cos amar -h cos coamar.

1 ^ i-h A J Aani.r

Posons encore avec Jacobi

ces quantités désignant ce que deviennent A" et K par le changement de q en q'^ ou de o> en aw, et mettons — ^;j— au lieu de a: ; on

aura

sin am h sin coam >

. r4K«a- ,,,,1 2Kx 2Kar

Al , A^-' = cos am r cos coam •

C'est à ce moment que nous ferons remarquer l'avantage des nou-

^7S (JEUVRES DE CHARLES HERIIITB.

velles formules

lit / o>-^i\

sin am •

car elles donnent, avec le même dénominateur,

sin coam = „ . - — 2- ,

2I cos coam — —

- /à V ^' ^riJ"« 2ci))

de sorte qu'ayant, comme on le vérifie de suite,

on en conclut, en remplaçant x et w par - el ->

. t: / ^ i- Q « X. toi

ÎJt'^n

j ^V'/^7 * COS4/1— |.| ; ^

V ^1 X , — I ■••y'i'co^î/IJ-

b ,r. tu •

Dau5 ces formules, k et A" désignent ce que deviennent le module

et son complément par le changement de co en«-» et ont pour val ^ur

So v^s forme de séries simples, on aurait

iKx \ TzHsiq V / ,v. \2 4/

SUR