LES FONCTIONS DE SEPT LETTRES

Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. LVfl, î863 (H), p. "So.

En représentant, suivant Tusage, un système de p quantités indépendantes par la notation Zi^ où Ton suppose

toute substitution entre ces quantités pourra se représenter analytiquement de la manière suivante :

Vi.]

la fonction ^{i) étant déterminée de manière à reproduire dans un autre ordre l'ensemble des p valeurs de l'indice. Ce n'est, il est vrai, qu'une abréviation de la notation explicite

[■So, ^\ ^p-\ "1 ^ai ^bj • • • ? ^k J

OÙ a. 6, .. ., A' sont les nouveaux indices, et qu'on obtient immédiatement par la formule d'interpolation; toutefois, on verra qu'on en tire quelques résultats intéressants, au moins à l'égard des fonctions de sept lettres, en prenant pour symboles de distinction, au lieu des indices i = o, i , 2 p — i, un système de résidus suivant le module/?. Sous ce point de vue, la formule d'interpolation se simplifie en efl'et, comme nous allons d'abord le montrer. Soit, pour un instant,

Q{X) = X{,T ^ i\yx — -î),. .{X — p -T- I);

FONCTIONS DE SEPT LETTRES. 2,Sl

n aura, comme on sait,

)r, en supposant /? premier, et employant le théorème connu

^(x)^tp — X (mod/?), 'où

n trouvera immédiatement

6(a?) = — a(xP-^ — i) — bx{xP-^ -h j?''-»-4-.. .-4-1)

— kx[xP-'^ H (y, i) j-p-î ^ . . .-^ (yt> — l)p-t].

)r(lonnant par rapport à x^ et remarquant que les nombres a, \ ..., /r, coïncident, sauf Tordre, avec un système de résidus, de orte que leur somme

rt H- 6 -h. . .-+- A: = o (raod/>), tiendra

— x^ [6-1- 2'^»cH-...-h(/) — O/'-'A:]

~.rP-'[6-f-*;»c -h.. .-+-(/> — i)A- ],

e qui est un polynôme à coefficients entiers du degré p — 2, et ont voici la propriété caractéristique :

Formons la suite des puissances

eî(x), e3(x), ..., ô/>-«(a7),

t soit, en général,

e« ( j* ) = ( /i )o -h ( /i )t j- -h ( /i )îX« -4- . . . -h ( /i )„f^,)a^«t/»--î),

e dis qu'on aura

effectivement, at, 6, . . ., A représentant dans un ordre quelconque

un système de résidus, on a

6«(o)-i-6»(i)-h...-he'»(/?— i)sa"-i- ^«-h. .-t- A:»

s o (mod p),

de sorte qu'en éliminant dans 8" ( x) les puissances de ar dont V^^ '^ posant est supérieur k p — i, à l'aide de la relation xP~* ^ i, " coefficient du terme indépendant auquel on sera ainsi amené dev^ ^^■ être congru à zéro.

Et, réciproquement, tout polynôme à coefficients entiers, t-^

degré p — 2,

e(a:)= G -h Hj?-+-...-^ Nj7A^«.

qui remplira ces conditions, pourra servir à désigner une substitu^==^ tion, car en faisant, pour un instant,

la fonction (x — a) (x — b). .,(x — k) coïncidera, en vertu de^

relations

a" -h ^« -+- . . . -^ A:« = o, avec

xP — X ou a?(a7 — i). . .(ar — /? H- I),

et, par conséquent, a, 6, . . ., /r représenteront un système de résidus.

Ces premières remarques faites, nous allons les employer à Téludedes substitutions, en partant de ce fait évident de lui-même que, si 6(x) est une fonction quelconque, propre à représenter une substitution, la suivante :

?j(x) = olB(x -+- P)-+- Yï

en excluant la valeur a ^ o, aura, quels que soient ^ et y, la même propriété. Or, il est aisé de définir, dans un tel ensemble d'expressions, une forme réduite, unique, qui, une fois connue, donnera toutes les autres, et ce qui se présente le plus naturellement c'est de déterminer a de manière à rendre égal à l'unité, dans 2x(x), le coefficient de la puissance la plus élevée de la variable, ^ en faisant disparaître le coefficient de la puissance immédiatement inférieure, et Y enfin, de sorte qu'il n'y ait pas de terme indépendant. On