FONCTIONS DE SEPT LETTRES

pourra même chercher à réduire ultérieurement S(^), en considé- K-sint l'expression a3(a^), où il restera encore un entier arbitraire, at près qu'on aura rendu égal à l'unité le coefficient du terme du p>lus haut degré. La notion des formes réduites ainsi établie pour l^s fonctions 0(j7), nous allons, en considérant les cas de /> = 5 et ^ = «j, montrer comment elles se déterminent.

Premier cas : p =z 5.

Les formes réduites sont

1 sl seconde est à exclure attendu que

^t il ne reste à considérer que la dernière dont le carré est

X)evant faire disparaître le terme indépendant, il faut poser

toutes les autres conditions se trouvant d'ailleurs remplies par

l'expression

il en résulte que la totalité des substitutions, pour un système de cinq lettres, s'obtiennent en employant pour indices

ax-h ;i, a(x-h 3)' -h Y,

OÙ l'on n'excepte que la valeur a ^ o. M. Belti avait donné déjà ce résultat dans le Tome II des Annales de TortoUni et, récemment, M. Brioschi en a fait l'application la plus ingénieuse dans son beau travail sur la méthode de Kronecker pour la résolution de l'équation du cinquième degré (Actes de l^ Institut Lombard, année i858).

Deuxième cas ; /? = 7.

On devra partir des expressions 2y(x j ^ ar, ar«, x^ -t- ax^ j:* -h ax^ -\- bx, x* -+- ax^ -+- bx^ -h car,

284 «IVRES DE CBARLES BERMITE.

dont la seconde et la troisième sont d'abord à rejeter, le terme ir dépendant existant nécessairement dans le cube de l'une et le can — ^-rè

de l'autre. Soit donc

?J(x) = x^-1- ax^ -T- bx.

Le terme indépendant de 2;*(x) donne immédiatement a ^ o. 0«- ^3n

trouve ensuite

(x*-^ Ax)« = rr»(A»-i-3A)-+- 36«-hi,

d'où cette condition

3 A» -f- ISO, ^ = ±3,

et, par conséquent, ces deux formes

Sr a? ) = j-*-!- 3 a:, a** — 3ar.

La seconde se ramène à la première en recourant au dernier mode de réduction que nous avons indiqué en commençant. On trouve, en efi'et, en prenant 27(x) ^ :r* — 3x,

a^'^{ax) = 37^ — 3a'ar,

de sorte qu'il suffit pour y parvenir de poser a' ^ — i , c'est-à-dire de prendre a non résidu de 7. Cela étant connu, on obtient, pour la série des puissances,

I ^ fa") = x^ -ir 3a7,

^••(j') = 3ar^-i- X, 275(\r ) ^ 3^** -^ 6a:*.

Ainsi toutes les autres conditions se trouvent remplies d'ellesmêmes.

Soit, en dernier lieu,

2r( a* ) = a?* -f- ax^ -4- bx^ ■+■ ex ;

on aura, en égalant à zéro les termes indépendants dans le carré, le cube, et la quatrième puissance,

2C -h rt* = o,

h { ^ -f- (> rtc H- 6* ) = o, ab^ -+- 4/>*c* -^ 2(aa -»- c*) (1 -t- 20c -h 6') = o.

PONCTIONS DE SEPT LETTRES. tl85

La seconde équation conduit à supposer d'abord 6^0, ce qui réduit la dernière à

('la -h c^) (i-h 2ac) ^ o.

Or, en y faisant

es— - a* = 3 a', eJJe donne l'identité

on a donc cette expression

&(rr) = j?* -H ax^ -+- 3a'j?,

OÙ a reste indéterminé, mais que nous pouvons ramener aux cas de a^o, a^i eta^3, d'après la relation

On vérifiera aisément que la cinquième puissance ne renferme pas d ^ailleurs de terme indépendant. Supposons enfin que b ne soit pas ^ o, les deux dernières équations donnent, en y faisant c ^ 3a^,

ol 'où ces deux solutions

On en conclut ces nouvelles formes r^^duites

^(x) ^37* -+- aa?* dza?' -h 3a* j? (a non résidu quadratique de 7), cjue nous ramenons, en opérant comme tout à l'heure, à celles-ci :

^(x) = ar* -H 3 X* =t a?' — ar.

En résumé, toutes les substitutions d'un système de sept lettres, au nombre de 5o4o, se trouvent représentées de cette manière,

la fonction 8 (a?) prenant successivement ces formes

37* it: '237',

a?» -H oa:* -h 3 a* a? (a quelconque),

a?* H- ax^ dz ar* -+- 3a'a7 (a non résidu de 7).

C'est le résultat que j'ai déjà indiqué dans une Lettre adressée M. Brioschi, et publiée dans les Annales de M, Tortolini;'\^ vai ^ '^ le compléter en présentant quelques remarques sur les diverse- '^^ fonctions 2j(j?), et me servant à cet effet des formes réduites pré — "^" cédemment obtenues, savoir :

^(57) = 07*-+- 3a7, 37* H- aa:*, a:* -Ha:' -+- 3a7, a7* -H 33"' — a7, a7* -H 3 a7> dz a** — x.

A l'égard des deux premières, je distingue en deux groupes les valeurs de x^ suivant leur caractère quadratique par rapport au module 7 ; on trouvera ainsi

ar* -+- 3a7 == 2a7 (a7 résidu quadratique de 7),

= 4^ (^ non résidu de 7},

a** -+- îa*"^ ^ 33-* ix résidu quadratique de 7),

^ a** {X non résidu de 7).

Pour la troisième, je distinguerai les indices en résidus cubiques, et non résidus par rapport à 7, et il viendra

a-* -h 373 -4- 3 a7 = — ^a7 {x résidu cubique de 7), ^ -+- IX Kx non résidu cubique).

Pour les deux derniers enfin, on parviendra encore à des formes monômes, mais sous un point de vue bien différent, car on trouvera

a7* H- 3a:' — a- e= Sa-*, a7 < ->

FONCTIONS DK SEPT LETTRES. 'iSy

el, par suite, en faisant e == di i ,

a:* -H 3^*' -h- ea:' — a? ^ (3 -h e) a:*, x <C ^-9

= (— 3 -+-£)rr«, ^>r

Ces remarques, qu'on vérifie facilement, autorisent jusqu'à un certain point peut-être à supposer que, clans l'étude des formes analytiques de substitution pour un nombre premier quelconque /> de lettres, les expressions que nous avons nommées réduites se ramènent elles-mêmes à d'autres beaucoup plus simples, en considérant les valeurs de l'indice comme résidus ou non résidus de puissances dont l'exposant di viserait /> — i, ou bien encore comme divisées en ces deux séries

Soit, par exemple (*), une substitution réduite de la forme

{ P^ \ i Lzl \

:S(x) ^ ax**^\x * -^il'—bx^xx * — 1/ :

il est clair qu'on aura simplement

Sr(a:*) = lax^ {x résidu de /?),

^^bx^ (x non résidu de /?);

o'est à cette catégorie qu'appartient, dans le cas de /?= 7, l'expression

?J(x) = — x^ — ax*,

c]ui vérifie les relations

^[a'^(x) -+- A] = 2a^*Sj( X H j-T \ H (6» -h 26*) (a résidu de 7),

(') Avant cet exemple dans lequel p est un nombre premier quelconque, Hermite donne un autre exemple où p == 3 (mod4); nous l'avons supprimé dans le texte, car le passage nous parait contenir des inexactitudes. E. P.

Il en résulte qu'on a un système de 168 substitutions conjugui représentées ainsi :

' >, < > (a résidu de 7);

d'où cette conséquence, indiquée pour la première fois par M. Kr necker, qu'une fonction de sept lettres, invariable par ce systèn de substitutions, ne peut avoir que trente valeurs distinctes.