QU

dr,

dY\}

e/FU

on parviendra, si l'on supprime un facteur numérique, à

d'où résultent les mêmes conséquences que pour 6.

» Mais la valeur de Û sous forme de déterminant suggère nati^^* rellement d'appliquer votre méthode à la relation PU = o en muL-3-

tipliant par

d\ dr^ dX, ce qui donne

UA = 3(QUrfFU-2FU^QU)/^a^2^

sous la condition admise PU = o.

» EHectivement il est aisé d'obtenir

di\

rfPU\

i2« z= FU ( QU )^ — 2 T ( FU QU )2 -h R ( FU )'.

T étant l'invariant du dixième ordre et R le discriminant. Faisant donc

v/FÏÏ

on aura

i2A = -6^.(FU)T(«l^^p.^^U

dr,

i) = ( F U ; * /5*— 2T2«-i- R et, par suite,

dV\}

dV\}

dV\}

rfz

Mais le point le plus essentiel est d'obtenir l'expression de ù^ en

LETTRE DE M. HBRMITE A M. BRIOSCHI. igi

fonction rationnelle et entière des covariants et contravariants, ainsi que vous l'avez fait à l'égard de S* et des trois covariants. Voire méthode qui emploie les quantités S^*, T^* de M. Aronhold m'ayant entièrement échappé, voici celle que j'ai suivie. J'ai pris pour point de départ les expressions canoniques données par M. Cayley

PL =—/($' -^7i»-hÇ»)-+-(4/«-i)$^; = o,

QL =(1— io/*)(tî-h7i»-HÇ»)— 6/«(5-+-4/»)S^;,

d'où l'on tire, en faisant

de sorte que le résultat cherché s'obtiendra en calculant le discriminant de l'équation du troisième degré

tu* L 4<«> 4<«> J w* ^ ^

Ou en faisant

on a la transformée plus simple

et Ton en déduit, abstraction faite d'un facteur numérique,

= — JFU(QU)i— 2(1 — 2o/»— 8/6)(FU QU)*-ha)3(FU)»l, et par suite le résultat ci-dessus.

29^ OEUVRES De CHARLES HERMITE.

» Peut-être ne serait-il pas sans intérêt de rapprocher la siib=*t\' tution précédente de la vôtre appropriée à l'équation PU = o, ^^ aussi d'envisager, à la place des équations U = o el PU =^ ^ celles-ci

aU -f- AHU = o, aPU -h 6QU = o. »

Paris, 'Il février i863.