SUR UN NOUVEAU DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DES FONCTIONS

Comptes rendus de V Académie des Sciences, t. LVHI, i864 (ï),

p. 93 et 266.

Les fonctions uniformes de plusieurs variables à périodes simultanées par lesquelles MM. Weierstrass et Riemann ont résolu le problème de Finversion des intégrales de différentielles algébriques quelconques sont représentées, comme Ton sait, par le quotient de deux séries telles que

OÙ 9 désigne une forme quadratique dont la partie réelle est définie

et positive, le signe \ s^étendantà toutes les valeurs des nombres

entiers m, /«,/>, ... de — 00 à 4-00. L'élément fondamental de ces nouvelles transcendantes, ainsi donné par l'expression

se présente dans toutes leurs relations analytiques, et acquiert par là une importance dont il est impossible de n'être pas frappé. La théorie des fonctions elliptiques, déjà assez avancée pour donner l'idée de ce qu'on doit attendre de ces transcendantes à plusieurs variables, justifie particulièrement, à l'égard de l'expression e"'*', ce caractère d'élément essentiel dans l'expression de leurs propriétés, et qu'on ne peut, en quelque sorte, perdre de vue dans les recherclies auxquelles elles conduisent. C'est ce qui m'a amené à

cette remarque, que les exponentielles e"^* et e"?^-^'^'*' • -^ donnent naissance, comme le radical .

(i — 2ad?H-a*) *, et l'expression

qui joue le principal rôle dans plusieurs des plus importantes questions de la Mécanique céleste, à un système de polynômes entiers, pouvant servir au développement des fonctions d'un nombre quelconque de variables. Mais, tandis que les fonctions de Legendre et de Laplace conduisent à des développements où les variables sont renfermées dans les limites — i et 4- i , il sera nécessaire ici d'embrasser toute Télendue des valeurs réelles de — 00 à -+-00; on verra, du reste, entre les propriétés d'expressions d'origine si différente, l'analogie la plus complète. Je commencerai, afin de La mettre dans tout son jour, par le cas des fonctions d'une seule variable et des polynômes semblables à X« qui se tirent de l'exponentielle e"**'.

Désignons par e '"'Lw la dérivée d'ordre n de e ^', de sorte qu'on ait successivement

l'i = — xx^

13 = — 8x*-f- VIT,

cl, en général.

NOUVEAU DÉVELOPPEMENT £N SÉRIE DES FONCTIONS. agS

C3U, SOUS une autre forme, ^(^0...(J^,) '-^-^-^ ....3.4.5.6

quand n est pair, et