quand n est impair

Cela posé, on démontrera aisément les propositions suivantes :

I. Trois polynômes consécutifs U„+i, U«, U,i i sont liés par la

relation

U„-Ki -4- 2ir U„ H- 2/1 U„i = o

et, par suite, peuvent être considérés comme les réduites successives de la fraction continue

On a de plus

'^^'^ - ,nll

et l'on en conclut l'équation du second ordre

2. L^équation U,i=o a toutes ses racines réelles; ces racines sont en valeur absolue comprises entre les limites —pz et 1/ •

e~^'U/,rfj7 est nulle, quel que soit /i, sa ^^^

n = o, et la suivante / e~^*V„ {]„' dx est nulle quand n est dî *^^ férenl de //. Pour n =1 w', on a

/ <?-^'L*rfx = 2.4.6...2/i.v/t:.

4. Tout polynôme entier F(x) du degré n peut être exprim ^^^ ainsi

F(a^)=AoUo-+-A,U,-+-...-h AnUn,

les quantités A©, A|, ... étant des constantes. Il sufBt, en effet, d^^^^ remarquer qu'on a pour une puissance quelconque

n(n — i)(/i — 2)(/i — 3)(n — 4)(/i — 5),, H rr7~5 tJ ««-+-. ..,

et en général il en est de même de toute fonction F(a:) en prenant