NOUVEAU DEVELOPPEMENT EN SERIE DES PONCTIONS

Cvs divers résultats se retrouveront d'ailleurs à l'égard des foncns plus générales qu'on tirerait des dérivées successives de l'exîssion ^~''*', que j'ai reconnu indispensable d'employer dans 'laines circonstances. Sans m'y arrêter en ce moment, j'arrive s. polynômes analogues à U,/, el qui renferment un nombre elconque de variables (*).

') Kn posant x = 2COS9, les quaniités V„ = 2COS/19, U„= ^^ — seront

sin - o 2 •

ssi des polynômes du degré n en x, tels que les intégrales

ont nulles ou égales à 21c suivant que n est difTérent de n' ou lui est égal. Ces lynomcs satisfont aux équations différentielles

( x^ — fi ) , ■+■ X —r-^ — n' \ .. = o, dx- dx

^^ ^^^1^ H-2(ar-+-i)-^— /i(/i-f-i)U„ = o,

ni la première est donnée dans V Algèbre supérieure de M. Scrret. On peut alement les considérer comme les dénominateurs des réduites successives des rtions continues suivantes :

Je n'ai pas besoin enfm de rappeler les polynômes P/'* de M. Lamé dont les opriétés ont été exposées avec tant de simplicité et d'élégance, par l'illustre ométre, dans son Ouvrage sur les fonctions inverses des transcendantes el les rfaces isothermes.

Soil çp(x, V, 3, ...) une forme quadratique à ul variables x, r, 5, , . . rt ilonl la partie réelle soit définie et positive : désignons par i{^(.r, »\ 5, .».^ le contrevarlant quadratique ou forme adjointe de (iiUUii, el (var S Tiaxariant. Nous considérerons deux systèmes de polvuomesi rationnels et entiers en x, y^ z ... qui seront définis de la maui<>iv suixante.

héxeloppous eu premier lieu, suixant les puissances des acvroiv^ieuieuts A« h^s A^ Texponentielle

et tîU ivmpluv^uut^ |H>ur abréîier, le produit 1.2.3.../I par (/i), po>iiU\^ rê^alité

le^ quantités l /«,«,«•',... rationnelles et entières en x^ y\ 5, ... et

^ruu ile^iv égal à /i -r /i' -H /i'' — , formenml le premier système.

Le second sVn déduira par une substitution linéaire efiectuée \ur les accivissemenls h. /*,, h^. ...: en introduisant le polynôme *YV^* ^«* ^.' nous ferons

, dl , dl . d'I

''-dk' ^'-ir,' ^'^dk/

cl ils seivnt définis par le déxcloppemeut >uixant les puissances de A» A|, ki. ... de rcxpression

Nou^ lc> dcsiijncnms par ^ v.i, ./,'. . ... en |H>>ant, comme tout à IKcuic,

V ^ '^ •^*' **'« =^ cx.^.r,. X 1 •- \n.n.n'....'

\ \\\\\ maintcnaul ci>nunenl >\»blienl leur pn>priété caracléris-