NOUVEAU DÉVELOPPEMENT EN SERIE DES PONCTIONS

tique. Soit, pour un instant,

^{x,y, «,...)= ?(^ -\- h, y -\- hx, z -\- h^, . . .)

on aura, d'après les équations mêmes de définition,

Multiplions par fix dy dz ... les deux membres, et intégrons [xfois entre les limites — oo et -4- oo; l'expression

^.« ^-« / / >'.e^^^o^z,...)fixdydz...

nous conduira au résultat par une transformation bien simple. Posons, en effet,

^=^--^'-dF'

les limites des variables S, r,, !J, ... seront totljours — oo et -h », et Ton vérifiera sans peine que

L'intégrale cherchée est ainsi ramenée à celle-ci :

Mais de plus, et d'après la nature du polynôme adjoint

^(^^ A-|, A-,, ...), on a ridentité

do d^ do d'I do d^ , ^ , , , , , »

dh dk dhx dkx dhf dk^

SOO CeUVBES DE CHARLB8 HERlflTE.

de sorte que nous parvenons à la relation fondamentale

i/'^ ^i5 aa-ka, ir,-HA, *,-...' — Ç Ç ...dxdydz... ^-? 't J- *• — *

Il en résulte immédiatement cette conséquence que l'intégrale

f f -e-^' r ^ '\:n.m\m\..ym,m,m',...dxdrdz...

s'éxanouit, si aucune des différences n — m, /t' — m\ n" — /w\ ... nesl nulle, tandis qu'en supposant n = m, /î'^ m\ /i'= m', ..., on a

/ y • • • ^ ? ' -^ •• tn. „ . „'. ... Vn. n . «', ... dx dy dz . . .

Celle proposilion peut servir de base, comme on voit, à l'étude du dé>eloppenienl d'une fonction F^x, r, z. . . .) sous cette double forme

le> coefficients élanl ainsi déterminés :

X V„.„-. ^•.... Fi t, y\ j. » dx dy dz . . .,

X ^ n,n\n\.., F< J". .»'• Z. ,. .) dx dy dz

Mais la recherche des propriétés des polynômes L et V doit naturellement précéder celte question; dans une autre occasion, j'essayerai d'y revenir.

NOUVEAU DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DES FONCTIONS. 3oi

Je vais donner quelques nouvelles remarques sur les polynômes tirés des exponentielles e" ''^', e~?^^'>"'^'--^ et qui peuvent être employés, comme je l'ai fait précédemment {Comptes rendus, E.. LVIII, séance du 1 1 janvier), au développement en série des fonctions d'une ou de plusieurs variables. J'indiquerai, en premier lieu, une modification légère à apporter à leur définition, et dont l'effet, comme on le reconnaîtra, est de simplifier leurs expressions algébriques. Ainsi les équations

et

que j'avais d'abord données, seront remplacées par celles-ci :

En particulier, pour le cas d'une seule variable, je poserai

et l'on aura de la sorte

,K ,t n . . ni II — \){ n — '>.){n — 'i) ^^ , ^^ .

ce qui montre déjà la simplification dont je parle. Ordonnant par

So2 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

rapport aux puissances ascendantes, on obtiendra pour n pair

nax^ n{n — i)a*T^ n{n — 2)(/i — 4)«'^*

el pour n impair (-1) ' u»

(/i — i)gx» (n— i)(/t — 3)^»ars (n — i)(/t — 3)(n — 5)a»jr^ ""' 1.2.3 "^ 1.2.3.4.5 1.2.3.4.5.6.7

A ces formules j'ajouterai encore les relations Vn-^i — axVn -+- an\Jn~i = o,

/ e * \]nUn'dx = o (n 9^n'), f^ e «"U»é^ = i.2.3.../i.a«l/^.

Muiulenant j'arrive aux polynômes à plusieurs variables.

Soil, tMi considérant pour plus de simplicité le cas de deux >ariablcs seulement,

lu»!* polynômes seront définis par l'équation \%\\ bien

NOUVEAi: DÉVELOPPEMENT EN SERIE DES FONCTIONS. 3o3

On trouvera ainsi, en faisant, pour abréger,

ax-\-by = ^^ bx -h cy = ri^ l^s valeurs

lio,o=i, U3.o= ;» -3a$,

Uo,i= r,, U,,2= ÎT<« — 267)— cj,

IJm»= $*— «, ^^0,3= r,»— 3cr,,

U,,i=Çti — 6, U4,o= $* — 6a5«-f-3a«,

Uo,î = YJ* — c,

<jéni;ralenienl, soit

^ ^ „ n(/i — I) „ , n(n — i)(n — '3Ly(n — 3) .

c'esl-à-dire l'expression même de U„, quand on y aura mis - au lieu de .r; on aura

lim.n = F„,($, a) F„(r,, c)— m/16 F,;,,($, a) F„-,(7), c) mn{m—i){n — i)^^^ /c^mt / ^x

/ym(m — i)(/t— i)(/n — 2)(/i — 2) ^^ ^ /cm?/ x ;7J73 ^'F„,,(5,a)Fn,(ti,c)

A l'égard des polynômes V;,,^,,, l'équation de définition donnera

d'où l'on voit que leur expression coïncidera avec la précédente en mettant x et y au lieu de $ et vi, et en remplaçant a, 6, c par les

coefficients de la forme adjointe t> — s^> - divisés par le détermi-

uant 5 = «c — 6^. Cela posé, on obtiendra aisément les relations

U„i+i,«— ÎU,«,«-+-a/nU,„i,„-4-6/iU,„,n i = o,

et celles-ci

— — = mu,/i-|,;i, — -j = n\J,n^n-\}

3o4 OEUVRES DK CHARLES HERMITB.

d'où se tirent les deux équations linéaires du second ordre aux dillerences partielles

Je joindrai aussi à la relation fondamentale les suivantes

/* "^ * — 9 l JT, ^ )

sous la condition m > yy, et

t»n supposant /i > y. On en déduit aisément

0(j") cl 2r( r) étant les polynômes entiers eu x et r des degrés //« — i el n — I, à coeflicieuts arbitraires. \ oiei la eonséquenee qu'on en déduit.

Je dis (pie l'étpiatiou V',„„=zo, considérée par rapport à x.

adnuM au nu)ius m racines rétdles, quel que soit v. et envisagée

par rapport à }\ n raeines réelles quel que soit x, Euq)loyant eu

elVel la belle mélliode ilounée par Le^rendre dans les Exercices de

(\ficui tnfr^^rai pour les l'ouelious \„. je supposerai / racine>

réelles,

NOUVEAU dAveLOPPEMENT EN SERIE DBS PONCTIONS. 3o5

d étant moindre que m; et en faisant pour un instant je prendrai 6(a?) = /(j:), ce qui donne Tégalitë

e * p(x)F{x)dxT=zo.

On en conclut que le polynôme F(x) change de signe au moins une fois entre — oc et -+- x), sans quoi l'intégrale ayant tous ses éléments positifs ne pourrait s'évanouir, de sorte qu'on peut ajouter une nouvelle racine réelle aux précédentes, et poursuivre ainsi jusqu'à ce qu'on soit amené à la limite du degré de ^(x). Cela donne par conséquent m racines réelles pour j:, et en opérant sur^ on trouverait de même le résultat annoncé. Mais on peut aller plus loin et établir que l'équation Vm,ti= o, considérée par rapport à x ou^, a toujours toutes ses racines réelles.

Remontant à cet effet à la défmition même de nos fonctions, savoir

je remarque qu'on a pour m = o

1 — r ?<-»■» y ) Uo,„ =(-!)« ^^ ,

de sorte qu'on peut écrire

Or on a, d'après l'expression générale précédemment donnée,

et, en vertu de la liaison remarquée entre F,, et les fonctions IJ„ à une seule variable, nous sommes déjà assurés que l'éffuation \jo,n=o admet n racines réelles par rapport à ri = bx-\-cy^ et par conséquent par rapport à x quel que soit y. Le facteur exponentiel étant toujours positif, on en conclut que la dérivée

3o6 OEUVRES DR CHARLES HERMITE.

— ^ a /ï — I racines dans rintervalle des précédentes.

dx Mais, en raison de ce même facteur eiponentiei, Fexpression

^ Uo,« s'annule pour ar = — oo et :r = 4-«, d'où résulte

nécessairement, dans la déri\ée, deux nouvelles racines, l'une entre — 00 et la plus petite racine de Féquation Uo,/i= o, l'autre entre la' plus grande et -+-00. 11 est prouvé par là que la nouvelle équation Ui „;=o admet n -f- i racines; et, en continuant de proche en proche le même raisonnement, on ctahlira l'existence de m -h /i racines réelles pour l'équation Um,//= o, dont le degré est m -h/i par rapport à x. La même chose aura lieu évidemment à l'égard de j% et notre proposition se trouve ainsi démontrée.

Je terminerai par une remarque sur la valeur limite, lorsqu'on suppose // très grand, des termes du développement d'une fonction F(j) par la formule

où le ro(»ffirient A„ est, ronime on l'a dit précédemment, déterminé par la relation

ri qui pourra servir à la rechen he des conditions de convergence (le e<' développement. Sui\aul à rel efl'et la méthode donnée par Laplaee dans la Connaissance drs Temps, année 182^, et appli- (piée par «e «;ran<l géomètre aux fonctions X,; de Legendre, je n^présenlerai l'intégrale de Téqualion

par

Kn <uhs(ituan( el égalant séparément à zéro les coefficients de

NOUVEAU DÉVELOPPEMENT EN SÉRIE DES FONCTIONS. 3o7

în( x\jan) et Q.o%[^x\Jan ), on aura

dp \ (d^q dq\

dq I Id'^p dp \

st par suite, en négligeant les termes divisés par ^n,

dp dq

d'où

/> = ae * , ç = Pe * .

Les constantes a et ^ se déterminent d'après la condition que U/i soit une fonction paire ou impaire de x^ suivant que n est lui-même pair ou impair, et en comparant au premier terme des développements

On obtient ainsi pour n pair l'expression limite fa — I r"^* -^^

el pour n impair

A„U« = l/--e* sin(arv/rt/i)x - le* F(ar) sin(a'/ân)€3te.

Kn met tant dans les intégrales — = au lieu de x, on peut dire

y an

encore que les termes du développement y^A„U„ tendent de plus

en plus à se confondre avec ceux de la série

c* 7^ -\^anCo%{x\/an)-irbn sin(ar/âw)],

3o8 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

OÙ l'on suppose

a^-i - / e *" F( -^=: |co8J?£ir, ''»/« XyanJ

Ces expressions en série au moyen du polynôme U«, d'après une observation importante faite par M. Bienaymé à Foccasion dW Mémoire de M. Tchébichef[ 5iir les fractions continues {Journal de M, LiouvillCy année i858)], appartiennent à cette catégorie très étendue de développements qui donnent des formules d'interpolation par la méthode des moindres carrés. Je remarquerai enfin que la quantité U» s'oflre dans la théorie de la chaleur et a été déjà considérée par M. Sturm dans son beau Mémoire sur une classe adéquations aux différences partielles (*). Si l'on désigne par u la température d'une barre non homogène, de petite épaisseur, placée dans un milieu d'une température constante, on a, comme on sait, l'équation

du \ dx) ,

Considérant le cas où, pour a:=i, / = t, la fonction u s'annule avec ses n — i premières déri\ées par rapporta x^ M. Sliirm donne l'expression suivante

où le polynôme P, en faisant

ITt

aleur

pour >al

{in) {in — 2 ) \ ,}A'xn — 4 ) i . -i . 3 ( •>. /i — 6 )

Or, on a ainsi [)récisémenl la fonction;-^— :^ in^ ^n supposant

1 ym )

la conslanle a égaie à -• (') Voir Journal de Liouville, l. I, p. 373.