EXTRAIT
LETTRE ' DE M. HERMITE A. M. B0RCH4RDT
Journal de C relie, t. 64, i865, p. 294.
« Partant de ce résultat si beau de Jacobi, savoir
\W considéré des polynômes à deux variables
dx^dy^
sous la condition a 4- ^ = /2i ou plus généralement
d" iaT'^-\- 'xbxy -^ cy^ — i )" dx* dy^
en imitant exactement comme vous voyez le mode de généralisation pour passer des séries elliptiques ^e'"^'^'"'*^ aux séries abéliennes
^ gmx-hfiy-i-am*-*-ibmn-hcn* ^
Je songeais en même temps à la modification correspondante à
( *) Une eiposilion plus détaillée du sujet traité dans celte lettre se trouve dans les Comptes rendus de V Académie des Sciences de Paris, année i865, séances lu 30 et i-j février, du 6 el i3 mars. Voir aussi Hermitk, Œuvres, t. II, p. Siq.
3lO OEUVRES DE CHARLES HERMITB.
apporter au radical y/i — ^ax -h «^, et c'est aux expressions suivantes
/i — ilux — %by -i- a* -h 6*, ou
/i — lax — iby -+■ Aa*-+- 2Ba6 -i- C6*,
que je me suis arrêté tout d'abord. La grande importance du développement de la fraction -— ^ appelait également mon
attention sur l'expression y — =-» et c'est ici que
^ I — 2aa: — 26^-i- a*-+- 6' «
j'ai un premier résultat à vous indiquer.
» Soit en effet
r • — n =^.«*^PUa.Bi
Ua,p sera un polynôme entier en j? et ^ du degré a-f- p, et l'on aura
l'intégrale étant prise entre les limites définies par la condition
sous la condition que la différence a -h ,3 — y — 8 ne soit pas nulle. Mais, en inlégrant le produit de deux polynômes différents, on n'obtient plus zéro, s'ils sont du même degré. Pour rétablir l'analogie avec les fondions d'une variable ayant pour origine le dé\e-
loppement de — —^ ^ et qui semble ici se perdre, j'ai pensé
à déduire des polynômes Ug,^ d'un même degré, d'autres en même nombre qui en dépendent linéairement, auxquels je donne la dénomination Va p, de manière à avoir
toutes les fois que les deux indices a et p, v et S ne seront pas simultanément égaux. Ce sont pré'cisément ces polynômes qui nTonl donné la généralisai ion des fonctions de Legendre que je recliercbais, mais il est nécessaire pour cela de sortir de l'expression I — jLdx — OLby -I- ^/^-h b'^ qi»i a servi de point de départ.
EXTRAIT d'une LETTRE A M. BOHCHAHDT. 3ll
» Considérant la forme ternaire en «, 6, c c*-+- 'lacx -k- ibcy -+- a*-+- 6*,
j'observe qu'elle a pour forme adjointe
(c — ax — /^v)* — (a*-+- 6*)(a?*-hj^*— i);
or en y faisant pour simplilier c = i , c'est le radical
dont le développement donne naissance aux polynômes Va^p, et, si l'on fait
V^(i — ax — byy — (a^-n 6* )( t*-4-^« — i) = \]a«6PVa,p,
on aura ce nouveau résultat :
» Soit
les polynômes V^^p seront exprimés de cette manière : V — /tg c^^*(^'-*-.r*— 0'*
et l'on obtient l'analogie aussi complète que possible avec les fonctions de Legendre. Opérant donc comme le fait Jacobi [Journal de C relie ^ t. 2), au moyen d'intégrations par parties successives, je trouve quelle que soit la fonction F(j:, y)
entre les limites
x^-\-y*Si,
J'en conclus que
/ j Va,p Vy,g dx dy = o,
si les degrés a -h ^ et y -|- o ne sont pas les mêmes, comme cela devait être en effet d'après la dépendance des polynômes Va^p et Ua,p.
» La propriété caractéristique des fonctions V^^p consiste en ce
.ti% ri.es hkrmite.
I .i<4tt'iir jr ou y, suivant que a ou |ï esl •iiHu' tVrmée. la distance d'un quelconque ^ .. iaiil moindre que l'unité, de sorte quVllt* . i trur du rercle
..•..iiueulule
.1 û)i<% a == y oi j3 = 0. on voit que, dans l*inlé- , 1 -^^ I, toute fonction h\j:, v) pourra être <» uu\ manières
i.,'»!-».-*!!»!*' de ne pas eonsid«M'er en même temps. J'ai .. ,iii '«('nddal)le d'un double mode de développement
^ li'N polynômes tirés des <léri\ées de la fonclion
>/n/ttrs rruf/us, i8(){)(*).
;i.di'» Niii\antes (prou obtient faeilement,
t/jr fi y i t fhy i-(t' - h-)(\ - *.a' X — ■>.//>• -H «'*-»-//* )
ah' — ha' M I — aa ' hh
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:.■- , I aa — hh' ),
i*lid)lir h's p(>ints osiMitiels de la théorie des font'-
. \ p' donnerai plus tard dan> les Com/ttrs rendus mil Cl del.iils. »
.. I •. ),iii\it'r iSJ)'».
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